2010学年第1学期数学分析III（B）参考答案一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）（1）（2）1（3），（4）（5）（6）（7）（8）二、判断题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）√X√√X三、计算题（本大题共4小题，共42分）1、解：这个问题实质上就是要求函数在条件及下的最大最小值问题。应用拉格朗日乘数法，令------------------------------------3分对求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有--------------------6分求得这方程组的解为与------------------------------------9分（1）式就是拉格朗日函数的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得。由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集上连续，从而必存在最大值与最小值），故由所求得的两个值，正是该椭圆到原点的最长距离与最短距离。------------------------------------12分2、解：设为从点到的直线段，则------------------------------------3分------------------------------------7分------------------------------------10分3、解法1（球面坐标）：-----------------------------------4分-----------------------------------7分-----------------------------------10分解法2：（柱面坐标）：----------------------------------4分----------------------------------7分----------------------------------10分4、解：球面投影到面上为，由于，所以----------------------------------4分----------------------------------7分---------------------------------10分四、1.5CM证明题（本大题共2小题，共19分）1、证明：我们把全增量写作在第一个括号里，它是函数关于的偏增量，在第二个括号里，则是函数关于的偏增量。对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得，其中-------4分由于与在点连续，因此有其中当时，。将（10），（11）代入（9）式，则得由定义可知函数在点可微.--------------------------------------------------------------9分2、证明：(1)因为，所以在点处连续。----------------------------------2分(2)因为，，所以在点处偏导存在。-------------------------------6分(3)考察，因为，所以当时，，所以在点处不可微。-------------------------------10分