一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．不等式的解为．【解答】2．在等差数列中，若，则．【解答】3．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则．【解答】．4．若，，则．【解答】5．已知的内角、、所对的边分别是，，．若，则角的大小是（结果用反三角函数值表示）．【解答】，故．6．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．【解答】7．设常数．若的二项展开式中项的系数为-10，则．【解答】，故．8．方程的实数解为．【解答】原方程整理后变为．9．若，则．【解答】，10．已知圆柱的母线长为，底面半径为，是上地面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线，如图．若直线与所成角的大小为，则．【解答】作下底面圆心O’，联结OO’，AO’，直线OA与OO’所成角的大小为，所以11．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．【解答】7个数中，3个偶数，4个奇数，所以为偶数的概率是12．设是椭圆的长轴，点在上，且．若，，则的两个焦点之间的距离为．【解答】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得，得．13．设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为．【解答】14．已知正方形的边长为1．记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、．若且，则的最小值是．【解答】向量数量积的最小值在于两个向量的模相等，而方向恰好相反。二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．函数的反函数为，则的值是（）（A）（B）（C）（D）【解答】16．设常数，集合，．若，则的取值范围为（）（A）（B）（C）（D）【解答】17．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件【解答】“好货”推得“不便宜”，“不便宜”不一定推得“好货”。答案：A18．记椭圆围成的区域（含边界）为，当点分别在上时，的最大值分别是，则（）（A）0（B）（C）2（D）【解答】当x+y取得最大值时，点（x，y）必在第一象限。，答案：D三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，正三棱锥底面边长为，高为，求该三棱锥的体积及表面积．O’D【解答】由已知条件可知，正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，经计算得底面的面积为，所以该三棱锥的体积为。设是正三角形的中心，由正三棱锥的性质可知，垂直于平面。延长交于，得，，又因为，所以正三棱锥的斜高。故侧面积为。所以该三棱锥的表面积为20．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元．（1）求证：生产千克该产品所获得的利润为元；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．【解答】（1）生产千克该产品所用的时间是小时，所获得的利润为，所以，生产千克该产品所获得的利润为元。（2）生产900千克该产品，获得利润为，。设利润为元，则故时，元．21．（本题满分14分）本题共有2个小题．第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数，其中常数．（1）令，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再往上平移个单位，得到函数的图像．对任意的，求在区间上零点个数的所有可能值．【解答】（1）。所以，既不是奇函数，也不是偶函数（2）根据平移之后，得到令，得因为恰含10个周期，所以，当a是零点时，在上零点个数为21个；当a不是零点时，也都不是零点，区间上恰有两个零点，故在上有20个零点。22．（本题满分16分）本题共有3个小题．第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数．无穷数列满足．（1）若，求，，；（2）若，且，，成等比数列，求的值；（3）是否存在，使得，，，…，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．【解答】（1）（2）①当时，，所以，得（舍去）或。②当时，，所以，得。综合①②得或。（3）假设这样的等差数列存