同济大学《线性代数》期终试卷1（2学时）本试卷共七大题一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)：1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为,,,的属于的特征向量是,则的属于的两个线性无关的特征向量是()；2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,,其中是的伴随矩阵,则的行列式()；3.(4分)设,,则()；4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()；5.(3分)二次型经过正交变换可化为标准型,则()；6.(3分)行列式中的系数是()；7.(3分)元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为,已知是它的个解向量,其中,,则该方程组的通解是()。二、计算行列式：(满分10分)三、设,,求。(满分10分)四、取何值时,线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。(满分15分)五、设向量组线性无关,问:常数满足什么条件时,向量组,,也线性无关。(满分10分)六、已知二次型，(1)写出二次型的矩阵表达式；(2)求一个正交变换，把化为标准形,并写该标准型；(3)是什么类型的二次曲面?(满分15分)七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）：1．(7分)设向量组线性无关,向量能由线性表示,向量不能由线性表示.证明:向量组也线性无关。2.(8分)设是矩阵,是矩阵,证明:时,齐次线性方程组必有非零解。《同济大学《线性代数》期终试卷2（2学时）本试卷共八大题一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2分，满分20分）：1.若阶方阵的秩，则其伴随阵。（）2.若矩阵和矩阵满足，则。（）3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交阵。（）4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。（）5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有。（）6.若矩阵和等价，则的行向量组与的行向量组等价。（）7.若向量线性无关，向量线性无关，则也线性无关。（）8.是矩阵，则。（）9.非齐次线性方程组有唯一解，则。（）10.正交阵的特征值一定是实数。（）二、设阶行列式：试建立递推关系，并求。(满分10分)三、设，，并且，求(满分10分)四、设，矩阵满足，其中是的伴随阵，求。(满分10分)五、讨论线性方程组的解的情况，在有解时求出通解。(满分12分)六、求一个正交变换，将二次型化为标准形。(满分14分)七、已知，由它们生成的向量空间记为，为所有3维列向量构成的向量空间，问：1．取何值时，但，为什么？2．取何值时，，为什么？(满分12分)八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）：1．若2阶方阵满足，证明可与对角阵相似。2.若是正定阵，则其伴随阵也是正定阵。