案例（二）----精析精练课堂合作探究重点难点突被知识点一公式cos=cos1·cos2如右图,已知OA是平面a的一条斜线,AB⊥a,则OB是OA在平面a内的射影,设OM是a内通过点O的任意一条直线,OA与OB所成的角为1,OB与OM所成的角为2,OA与OM所成的角为,则有cos=cos1·cos2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系.在上述公式中,因为0≤cos2≤1，所以cos<cos1,因为1和都是锐角,所以1≤0,由此我们可以得到最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.知识点二斜线和平面所成的角(1)定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).(2)斜线和平面所成角的范围:(0,).(3)直线和平面所成角的范围:[O,],其中当一条直线与一个平面垂直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0.(4)直线和平面所成角的求法:①几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.②向量法:若直线AB与平面a所成的角为,平面a的法向量为n,直线与向量n所成的角为，则+=,利用向量的夹角公式求出cos=,再根据sin=|cos|求出③利用公式cos=cos1cos2求解.典型例题分析题型1几何法求直线和平面的夹角【例1】如下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,AA1=5,试求B1D1与面A1BCD1所成角的正弦值解析作出B1点在平面A1BCD1上的射C影,从而得到B1D1A1B1D⊥面A1BCD1,故只要过B1作A1B的垂线,垂足就是B1的射影.答案作B1E⊥A1B,又因为A1D1⊥平面ABB1A1,∴A1D1⊥B1E.由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得知B1E⊥面A1BCD1,所以,D1E就是D1B1在平面A1BCD1上的射影,从而∠B1D1E就是D1B1与面A1BCD1所成的角.在Rt△B1D1E中,有sin∠B1D1E=上的射影.但D1B1===5,又=A1B1·EB1=A1B1·BB1,A1B==,∴EB1==,∴sin∠B1D1E==.方法指导如果随意地在直线B1D1上取一点,然后过这一点向平面A1BCD1作垂线,虽然也可以找出直线B1D1和平面A1BCD1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此“作、证、求”三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.【变式训练1】.答案如下图,作AO⊥a,O为垂足,连结OB,OC,OD,则∠ABO,∠ACO,∠ADO分别为AB,AC,AD与a所成的角,则∠ABO=30°,∠ACO=45°.设AO=h,则AC=h,AB=2h.∴BC=h,∴AB=h.∴Rt△AOD中,sin∠ADO=,∠ADO=60°.∴AD与平面a所成的角的大小为60°.【例2】如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线AA1与平面A1BD所成的角.解析在确定A在平面上的射影时,既可以利用线面垂直,也可以分析四面体A1-ABD的性质.答案解法一:连结AC,设AC∩BD=O,连结A1O,在△A1AO内作AH⊥A1O,H为垂足.∵A1A⊥平面ABCD,BD平面ABCD,∴A1A⊥BD.又BD⊥AC,AC∩A1A=A,∴BD⊥平面A1AD,∴BD⊥AH.又AH⊥A1O,A1O∩BD=O,∴AH⊥平面A1BD,∴∠AA1H为斜线A1A与平面A1BD所成的角.在Rt△A1AO中,A1A=1,AO=,∴A1O=.∵:A1A·AO=A1O·AH,∴AH=.∴sin∠AA1H=.∠AA1H=arcsin.∴A1A平面A1BD所成角的大小为arcsin.解法二:∵AA1=AD=AB,∴点A在平面A1BD上的射影H为△A1BD中心,连结A1H,则A1H为正△A1BD外接圆半径,∵正△A1BD边长为,∴A1H=·=.Rt△AHA1中,cos∠AA1H==.∵∠AA1H为AA1与平面A1BD所成的角,∴A1A与平面A1BD所成角的大小为arcsin.解法三:同解法二分析,A1H为∠BA1D的平分线,∴∠BA1H=30°,又∠AA1B=45°,∴由最小角原理公式cos∠AA1B=cos∠AA1H·cos∠BA1H,得cos∠AA1H==∴∠AA1H=arccos方法指导1=AD=AB的基础上,得到A在平面A1BD上的射影的性质,解法三在找到基本图形-----三棱锥A1-ABD后,利用最小角原理公式,最小角原理公式是立体几何的重要公式之一,解法三利用该公式,解法简捷明了