8.5.2数列与函数、不等式的综合问题核心考点·精准研析考点一数列与函数的综合1.设{an}是等比数列,函数y=x2-x-2021的两个零点是a2,a3,则a1a4等于()A.2021B.1C.-1D.-20212.在各项都为正数的数列{an}中,首项a1=2,且点(,)在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn等于()A.3n-1B.C.D.3.已知f(x)=2sinx,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{an},n∈N*.数列{an}的通项公式为________________.4.已知函数f(x)=log2x,若数列{an}的各项使得2,f(a1),f(a2),…,f(an),2n+4成等差数列,则数列{an}的前n项和Sn=________.【解析】1.选D.由题意a2,a3是x2-x-2021=0的两根.由根与系数的关系得a2a3=-2021.又a1a4=a2a3,所以a1a4=-2021.2.选A.由点(,)在直线x-9y=0上,得-9=0,即(an+3an-1)(an-3an-1)=0,又数列{an}各项均为正数,且a1=2,所以an+3an-1>0,所以an-3an-1=0,即=3,所以数列{an}是首项a1=2,公比q=3的等比数列,其前n项和Sn==3n-1.3.因为|f(x)|=2,所以x=kπ+,k∈Z,x=2k+1,k∈Z.又因为x>0,所以an=2n-1(n∈N*).答案:an=2n-1(n∈N*)4.设等差数列的公差为d,则由题意,得2n+4=2+(n+1)d,解得d=2,于是log2a1=4,log2a2=6,log2a3=8,…,从而a1=24,a2=26,a3=28,….易知数列{an}是等比数列,其公比q==4,所以Sn==(4n-1).答案:(4n-1)1.将题2改为已知函数f(x)=xα的图像过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2021等于()A.-1B.-1C.-1D.2+1【解析】选C.由f(4)=2可得4α=2,解得α=,则f(x)=.所以an===-,S2021=a1+a2+a3+…+a2021=(-)+(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1.2.数列{an}的通项an=ncos2-sin2,其前n项和为Sn,则S40为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意得,an=ncos2-sin2=ncos,则a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4,a5=0,a6=-6,a7=0,…,于是a2n-1=0,a2n=(-1)n·2n,则S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+a6+…+a40)=-2+4-…+40=20.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题.(2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.【秒杀绝招】特例法解T2:由题意(,)在直线x-9y=0上,所以—9=0,因为a1=2,易得a2=6,所以S2=8.验证四个选项可排除BCD.考点二数列与不等式的综合【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2·Sn·Sn-1(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式an.(2)求证:++…+≤-.【解题导思】序号题目拆解(1)①an=-2Sn·Sn-1(n≥2)利用an=Sn-Sn-1将an=-2Sn·Sn-1转化为Sn,Sn-1的关系②求数列{an}的通项公式an先求出,利用an=-2Sn·Sn-1进而求得an.(2)求证:++…+≤-.由(1)得Sn=,由=<,放缩后利用裂项相消法求和是解题的关键【解析】(1)因为an=-2Sn·Sn-1(n≥2),所以Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1.两边同除以Sn·Sn-1,得-=2(n≥2),所以数列是以==2为首项,以d=2为公差的等差数列,所以=+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.将Sn=代入an=-2Sn·Sn-1,得an=(2)因为=<=(n≥2),=,所以当n≥2时,++…+=++…+<++…+=-;当n=1时,==-.综上,++…+≤-.数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调