习题二x2U2-3已知真空中静电场的电位ϕ()x=+xV，求电场强度的分布及电荷体密度ρ。ε0d∂ϕ⎛2xU⎞解：⎜⎟E=−∇ϕ=−ex=−⎜+⎟exV/m∂x⎝ε0d⎠∂E⎛2⎞x⎜⎟2ρ=∇⋅D=−ε0∇⋅E=−ε0=−ε0⎜⎟=−2C/m∂x⎝ε0⎠2-4半径为a的圆面上均匀带电，电荷面密度为σ，试求：(1)轴线上离圆心为z处的场强，(2)在保持σ不变的情况下，当a→0和a→∞时结果如何？(3)在保持总电荷不变的情况下，当a→0和a→∞时结果如何?解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r、厚度为dr的圆环，它所带的电荷量为dq=σ2πrdr。由例题2-5(1)的结果可知该回环在轴线上P点处的场强为zdqσzrdrdqdE==33R2ε02222224πε0()r+z()r+zz则整个均匀带电圆面在轴线上P点出产生的场强为o⎛⎞σzardrσ⎜z⎟Ez==1−a∫03⎜22⎟2ε0222ε0a+z()r+z2⎝⎠(2)若σ不变，当a→0时，则σEz=(1−1)=02ε0当a→∞，则σσEz=(1−0)=2ε02ε0q(3)若保持q=πa2σ不变，当时，此带电圆面可视为一点电荷。则E=a→0z24πε0z当a→∞时，σ→0，则Ez=0。2-5已知某空间电场强度E=(yz−2x)ex+xzey+xyez，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是静电场，求与之对应的电位的分布。答案ϕ=x2−xyz−αr2-7在半径为a的无限长带电长直圆柱中分布有电荷ρ=ρ0e，其中ρ0、α均为常数。求圆柱内、外的电场强度。ρ0⎛1−αr1−αr⎞ρ0⎛1−αr1−αa⎞答案Ei=⎜−re−e⎟erEo=⎜−ae−e⎟erε0ra⎝aa⎠ε0ra⎝aa⎠3E0r2-8已知电场强度E=er,(0≤r<a,E0为常数)，求体电荷密度ρ(r)，其中介电常数为ε。a3解：因为ρ=∇⋅D=−ε0∇⋅E由球坐标系中散度展开式1∂21∂1∂Aφ∇⋅A=()rAr+()sinθAθ+r2∂rrsinθ∂θrsinθ∂φ得21∂25εE0rρ=∇⋅D=ε∇⋅E=ε()rEr=r2∂ra32-9已知在半径为a的球体区域内外，电场强度矢量表达式为⎧Ar⎛r2⎞⎪er⎜1−⎟r<a⎪3ε⎜a2⎟E=⎨⎝⎠Ba2⎪er>a⎪r2⎩ε0r其中A、B均为常数。求此区域的电荷分布。⎛5r2⎞答案ρ=A⎜1−⎟r<a，σ=Br=a，⎜2⎟⎝3a⎠2-11计算均匀电荷面密度为σ的无限大平面的电场。解：根据高斯定律有vvvvvv∫D⋅dS=D0∆Sez⋅ez+D0∆S(−ez)⋅(−ez)=2D0∆S=σ∆Ss注意侧面上D0的通量为零。σσ由边界条件可知D|+−D|−=−(−)=σ0z=00z=022因此求得D0=σ/2，用矢量式表示时为⎧σevz>0v⎪zD=20⎨σ⎪(−ev)z<0⎩2zq2-12在无限大真空中，已知电位ϕ=e−αr，求对应的电场强度及电荷分布。4πε0r2分析r=0处是ϕ()r的奇异点，在该点应有一个点电荷。在r≠0处，可由ρ=−ε0∇ϕ求得电荷体密度，而位于r=0处的点电荷，则可应用高斯定律求得。解(1)电场强度为∂ϕq⎛1α⎞E=−∇ϕ=−e=ee−αr+rr⎜2⎟∂r4πε0⎝rr⎠(2)在r≠0处，电荷体密度由球坐标系中散度展开式求得为21∂2−αq−αrρ=∇⋅D=ε∇⋅E=ε()rEr=er2∂r4πr为了确定r=0处的点电荷，作一个半径为r的球面S。由高斯定律可得到球面S内的总电荷Q为2−αrQ=εE⋅dS=εE(r)4πr=q(1+αr)e0∫S0该球面S内的体分布电荷的总电荷量Q′为rr−α2qQ′=ρdV=ρ(ξ)dξ=e−αξ4πξ2dξ=q(1+αr)e−αr−q∫V∫0∫04πξ故r=0处的点电荷q0为q0=Q−Q′=qϕ=2ϕ说明在给定E或分布，可应用ρ=ε∇⋅E或ρ=−∇εϕ求电荷分布。但应注意：在E或的奇异点处可能有点电荷，而在E的突变面上，可能有面分布的自由电荷。2-13一个半径为a的导体球，要使得它在空气中带点且不放电，试求它所能带点最大电荷量级表面电位各是多少？已知空气的击穿场强为3×106V/m。a2答案q=×10−3C，ϕ=3a×106Vmax3max2-14空气中有一内外半径分别为a和b的带电介质球壳，介质的介电常数为ε，介质内有电荷密度为Aρ=的电荷分布，其中系数A为常数。求总电荷及空间电场强度