两类时滞系统的周期解与稳定性分析的中期报告介绍本文旨在介绍两类时滞系统（含单个和多个延迟项）的周期解和稳定性分析方法的中期报告。时滞系统是一类重要的非线性动态系统，具有实际应用价值，在控制理论、信号处理、通信工程、生物学、经济学等领域都得到了广泛应用。其中，时滞系统的周期解和稳定性分析是研究时滞系统动态性质的基础和关键。单个延迟项的时滞系统的周期解和稳定性分析对于时滞系统的周期解求解，常用的方法包括：Lyapunov-Krasovskii函数法、Laplace变换法、Hopf分支法、三角函数展开法等，而本文主要介绍Lyapunov-Krasovskii函数法。利用Lyapunov-Krasovskii函数法可以有效地刻画时滞系统稳定性，且该方法需要的条件相对较宽松。具体地，该方法通过构建一种Lyapunov-Krasovskii函数来刻画系统的稳定性，进而得到系统的周期解。该函数的构造通常采用一些基函数（如指数函数、三角函数等）的线性组合形式，并通过引入一些不等式约束来保证函数的有效性。对于时滞系统的稳定性分析，常用的方法包括：Lyapunov稳定性法、线性矩阵不等式（LMI）法、数值方法等。其中，LMI法是一种有力的工具，该方法通过构造满足一定条件的矩阵不等式来刻画系统的稳定性，具有较高的计算效率和实用性。多个延迟项的时滞系统的周期解和稳定性分析对于多个延迟项的时滞系统，其周期解和稳定性分析变得更加困难，常用的方法不再适用，因此需要采用新的方法。目前，针对多个延迟项的时滞系统的周期解和稳定性分析，主要有如下几种方法：1.平均值法：该方法将多个延迟项近似为其平均值，并通过Lyapunov-Krasovskii函数法来求解。2.时滞分段函数法：该方法将时滞系统分为若干段，每一段内没有延迟，通过引入辅助变量来构造状态积分方程，然后在每一段上分别求解，最终得到系统的周期解和稳定性。3.多项式Liapunov-Krasovskii函数法：该方法将多项式的形式的Lyapunov-Krasovskii函数作为候选函数，利用LMI法来求解系统的周期解和稳定性。总结时滞系统的周期解和稳定性分析是时滞系统研究的重要内容。时滞系统中，对于单个延迟项的系统，可以采用Lyapunov-Krasovskii函数法来求解周期解和判断稳定性；而对于多个延迟项的系统，则需要采用更加复杂的方法，如平均值法、时滞分段函数法、多项式Liapunov-Krasovskii函数法等。这些方法不仅对时滞系统的理论研究有重要意义，也具有广泛的应用前景。