彩票中的数学问题小组成员：邓旭朱洪伟龚欣欣吴沁竹论文出处：《工程数学学报》2003年03月20卷5期《“彩票中的数学”问题的优化模型与评述》（2002年全国大学生数学建模竞赛B题）一、问题的背景与产生我国的彩票市场近况政府为要加强管理和规范彩票的发行工作，出台了新的“彩票发行与销售管理办法”，对于彩票发行环节中的销售、开奖、游戏过程等相关内容，做出了原则性的规定。我们就是在这样背景下，从数学的角度来研究这个“彩票问题”。作者认为通过对这个问题的研究，可能会产生一定的社会影响，或许能对某些地方的彩票发行工作有所帮助或促进。彩票问题的产生二、彩票问题的优化模型建模需考虑的因素从彩票公司的角度出发，需考虑的因素：一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、中奖面怎样、各奖项的设置是否合理……（可用彩民的心理曲线来描述一个方案对彩民的吸引力）从彩民的角度出发，需考虑的因素：彩民所在地区的经济状况、彩民的收入、彩民的消费水平……模型假设与符号说明符号：rj——第j等(高项)奖占高项奖总额的比例，j=1，2，3；xi——第i等奖奖金额均值，1≤i≤7；Pi——彩民中第i等奖xi的概率，1≤i≤7；μ(xi)——彩民对某个方案第i等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力，1≤i≤7；λ——某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数。建模的准备K1：K2：K3：K4：（注：K1与K2、K3、K4计算方法有所不同）各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率计算如下表：二、确定彩民的心理曲线根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为：其中λ表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。三、计算实力因子λ计算方法：利用彩民心理曲线及x0、μ(x0)反求λ举例：不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元，于是，当x0=52.5万元时，取μ(x0)=0.5，则有同理，可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元的实力因子如下表：三、模型的建立与求解问题（一）另一方面，由题意知，单注所有可能的低项奖金总额为，根据高项奖的计算公式得单注可能的第j项（高项奖）奖金额为：故平均值为：于是由上述推导得到：利用matlab可算出题目中多种方案的合理性指标值F及高项奖的期望值，排在前三位的如下表：问题（二）利用matlab计算出针对不同收入情况的最佳方案：