維根斯坦的數學哲學維根斯坦對數學的看法：正是那些數學之外的用法和符號的意義，使得符號遊戲進入數學領域。他認為數學符號是以日常語言中的概念發展而來的，數學公式和定理是作為語言用法的一般規則而存在的；沒有日常語言的運用以及對語言規則的正確理解，也就沒有數學符號的運用。但是維根斯坦也承認，數學和日常生活中運用的語言遊戲有所不同。『數學命題』和『日常語言』具有不同的陳述對象。哲學家把這兩種的區別歸結為：『分析命題』和『綜合命題』，『必然命題』和『經驗命題』。對數學哲學中實在論的批判：『實在論』：把概念的內容當作獨立於具體的感性事物的客觀存在，稱為『實在論』。這種理論推廣到數學領域，『數字』及幾何學中的『點、線、面、體』等抽象概念都可被說成是『客觀存在』的實體。維根斯坦反對實在論的主要理由：實在論者犯了循環論證的錯誤。實在論者把一個特殊數字當作先於計數和運算過程而客觀存在的觀念。但他們忘了，這個數字的觀念正是通過運算而得到的。比如：他們用25×25得出625，然後又用625來解釋運算規則的客觀性和普遍性。也就是說：沒有25×25的運算規則，他們不能確定625的意義；另一方面，沒有625這數字，他們不能解釋25×25運算規則的普遍性。如果不先經實際運算，實在論者就會面臨這樣問題：為什麼25×25的結果是625而不是624或626？他們的困難在於，他們不能把25×25的運算規則當作標準，因為這個運算規則的可靠性還需要由理念來證明。要擺脫循環論證，我們要用運算過程之外的因素，而不世界住運算的結果來說明運算規則的內容和性質。維根斯坦認識到，『數學真理』的『普遍性』和『必然性』是產生『實在論』的根源之一。比如：計算25×25＝625。在還為算出結果之前，625就已經不為人知的存在著。也許，我們會得出錯誤的結論，但是25×25＝625是不依賴我們運算過程而存在的『客觀真理』。維根斯坦形容這種感覺說：他只是遵循著一條業已存在的路線，並且把如何遵循這條路線當著一個過程來接受；他只知道對他的行動作一種解釋，那就是按照這條路線走下去。不過維根斯坦也同意，執行演算過程是一種遵守規則的行動。但是這規則並不是一條先於人們運用語言能力和實踐而存在，並且能夠指導我們行動的路線。在討論語言規則問題的時候，維根斯坦已經指出人們總可以從理論上找出對一條規則的不同解釋。而數學運算是一個運用語言，制訂關於語言精確用法的規則、規定對規則的解釋，並在教育、訓練過程中貫徹他的過程。這個過程是人們生活的一部份，是『人類學、社會學』中的事實。弗萊格認為：邏輯所反映的是『概念世界』，這是一個和『物理世界』與『心理世界』並存的第三個世界。羅素認為：在個體事物和概念之外，還有『邏輯事物』存在。總結而言：柏拉圖的『理念』就是羅素所謂的『邏輯事物』，『理念世界』就是弗萊格的『概念世界』。經驗命題和數學命題的不同引導人們去假設兩者所陳述的對象分屬兩個不同領域：『感性世界的事物』及『精神世界的內容』。柏拉圖的『實在論』就是這種觀點的哲學概括。柏拉圖肯定在感覺事務所組成的世界之外，還有一個『理念世界』。每一類感性事物都有一個理念作為其本質，每一感性事物由於分享這一本質而獲得其存在。維根斯坦認為：數學所研究的對象不是已經存在的事物，而是數學家發明出來的觀念。他說：我們最好把『數學發現』稱之為『數學發明』。『發現』和『發明』的區別：發現是對獨立於人類生活和語言之外的現實事物的揭示、把握或理解；發明是根據人類自身的需要和利益創造出來的前所未有的概念和規則。數學命題不是去陳述脫離人的思想和語言而存在的數學領域中的事物，因為這個領域是人所設立的，離開了人的社會活動和語言活動，也不會有『數學真理』。對數學哲學中的經驗論的批判：在哲學使上，實在論的對立面是『唯名論』。在數學哲學中唯名論的觀點是：數學符號只是個別的、具體的、可感覺的事物的代號，數學公式、定理所表示的不是客觀事物本身，而是人為地從客觀事物中分離、抽象出來的關係和屬性。『唯名論』之意，像金剛經中所說的：佛說『福德多』，非『福德多』，而是名『福德多』。『實在論』者則認為，上面所說的『福德多』是真的『福德多』。經驗主義：反對脫離人們的經驗過程來談論事物的存在，他們把數學概念和命題看做是對感覺內容進行抽象處理而得到的產物。維根斯坦認為：實在論者混淆了數學和邏輯，而經驗論者則混淆了數學和實驗。運算規則的確定和解釋也需要一定的經驗事實為前提。但是，數學規則並不陳述或表達這些條件。具體的說，運算是以正常人的智力和常規訓練為基本條件的，運算過程和結果對於任何經過這種訓練的正常的人都是相同的。因此，維根斯坦說：我們不說『我們就是這樣做的』而說『運算過程就是這