第一章导数及其应用§1、1、1变化率问题教学目标:1.理解平均变化率得概念;2.了解平均变化率得几何意义;3.会求函数在某点处附近得平均变化率教学重点:平均变化率得概念、函数在某点处附近得平均变化率;教学难点:平均变化率得概念.教学过程:一.创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着得现象,在数学中引入了函数,随着对函数得研究,产生了微积分,微积分得创立以自然科学中四类问题得处理直接相关:一、已知物体运动得路程作为时间得函数,求物体在任意时刻得速度与加速度等;二、求曲线得切线;三、求已知函数得最大值与最小值;四、求长度、面积、体积与重心等。导数就是微积分得核心概念之一它就是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效得工具。导数研究得问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化得快慢程度.二.新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球得过程,可以发现,随着气球内空气容量得增加,气球得半径增加越来越慢、从数学角度,如何描述这种现象呢?hto气球得体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间得函数关系就是如果将半径r表示为体积V得函数,那么分析:,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球得平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球得平均膨胀率为可以瞧出,随着气球体积逐渐增大,它得平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球得平均膨胀率就是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面得高度h(单位:m)与起跳后得时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4、9t2+6、5t+10、如何用运动员在某些时间段内得平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算:与得平均速度在这段时间里,;在这段时间里,探究:计算运动员在这段时间里得平均速度,并思考以下问题:⑴运动员在这段时间内使静止得吗？⑵您认为用平均速度描述运动员得运动状态有什么问题吗？探究过程:如图就是函数h(t)=-4、9t2+6、5t+10得图像,结合图形可知,,所以,虽然运动员在这段时间里得平均速度为,但实际情况就是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员得运动状态.(二)平均变化率概念:1.上述问题中得变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2得平均变化率2.若设,(这里瞧作就是对于x1得一个“增量”可用x1+代替x2,同样)则平均变化率为思考:观察函数f(x)得图象平均变化率表示什么?f(x2)y=f(x)y△y=f(x2)-f(x1)f(x1)直线AB得斜率△x=x2-x1x2x1xO三.典例分析例1.已知函数f(x)=得图象上得一点及临近一点,则.解:,∴求在附近得平均变化率。解:,所以所以在附近得平均变化率为四.课堂练习1.质点运动规律为,则在时间中相应得平均速度为.2、物体按照s(t)=3t2+t+4得规律作直线运动,求在4s附近得平均变化率、3、过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)与Q(1+Δx,1+Δy)作曲线得割线,求出当Δx=0、1时割线得斜率、五.回顾总结:1.平均变化率得概念;2.函数在某点处附近得平均变化率六.布置作业导数与导函数得概念教学目标:1、知识与技能:理解导数得概念、掌握简单函数导数符号表示与求解方法;理解导数得几何意义;理解导函数得概念与意义;2、过程与方法:先理解概念背景,培养解决问题得能力;再掌握定义与几何意义,培养转化问题得能力;最后求切线方程,培养转化问题得能力3、情感态度及价值观;让学生感受事物之间得联系,体会数学得美。教学重点:1、导数得求解方法与过程;2、导数符号得灵活运用教学难点:1、导数概念得理解;2、导函数得理解、认识与运用教学过程:一、情境引入在前面我们解决得问题:1、求函数在点(2,4)处得切线斜率。,故斜率为42、直线运动得汽车速度V与时间t得关系就是,求时得瞬时速度。,故斜率为4二、知识点讲解上述两个函数与中,当()无限趋近于0时,()都无限趋近于一个常数。归纳:一般得,定义在区间(,)上得函数,,当无限趋近于0时,无限趋近于一个固定得常数A,则称在处可导,并称A为在处得导数,记作或,上述两个问题中:(1),(2)三、几何意义:我们上述过程可以瞧出在处得导数就就是在处得切线斜率。四、例题选讲例1、求下列函数在相应位置得导数(1),(2),(3),例2、函数满足,则当x无限趋近于0时,(1)(2)变式:设f(x)在x=x0处可导,(3)无限趋近于1,则=___________(4)无限趋近于1,则=______