北大-CAPM的证明北大-CAPM的证明北大-CAPM的证明CAPM的证明在市场处于均衡的情况下，组合的收益与风险（标准差)之间是线性相关的，而到目前为止，单个资产的收益与风险之间的关系还一点都没有谈及。一般情况下,单个资产收益与风险的坐标点应该位于资本市场线之下，表明非组合投资是无效率的。而且这些点可能散布于投资集，其收益与总风险（标准差）之间没有确定的关系。但是，单个资产的预期收益与其系统风险（systematicrisk）之间却存在着确定的关系.某单个资产与包含该资产的任意一个有效组合的关系可以用图来说明。Zgi图有效组合与任意单个资产的组合在图中，单个资产i属于有效组合g中的一个资产。曲线表明资产i与组合g重新进行组合后收益与风险的关系.假定投资于资产i的比例为，投资于组合g的比例则为1－。=1，表明全部资金都投资于资产i；而=0,表明全部资金都投资于组合g;而=0.5，说明投资于资产i的比例高于50%，因为组合中已经包含了资产i。如果在新的组合中资产i为0，必须令为负值。就表明当为负值时的新组合。曲线与资本市场线相切于g点,这是很正常的，因为在市场均衡的情况下,所有这样的曲线都要与资本市场线相切。之所以单个资产与有效组合的新组合曲线与资本市场线相切,是因为(1）这样的曲线是连续的；（2）这样的曲线一定会接触代表有效组合的那一点。如果不相切,那就意味着与资本市场线相交,但此时,就会有些组合在资本市场线的右上方，这是不可能的，因为资本市场线代表了全部有效率的组合。曲线与资本市场线相切这一特征可以用来推导组合g中各单个资产的预期收益与单个资产不同类别风险之间的关系。资产i与组合g的新组合的收益为而资产i与组合g的新组合的标准差为由于所以由于资产i一定在组合g中,因为组合g是有效的组合。由于资产i已经在组合g中，在资产i与组合g进行重新组合时，一定为0，因此这是新组合的风险价格，而这一价格一定等于我们前面分析的价格，即因此等式两边同时乘以则当存在市场组合时，单个资产的收益率与其系统风险同样存在着线性关系(其推导过程与上述推导过程完全一样，只不过用市场组合M替代了前面的有效组合g）。在存在着市场组合M时，单个资产i的收益率与其风险的关系为令则