对2022年江西高考文科数学试卷第20题的探究[摘要]解析几何是高中数学的一个重要模块，其核心内容是直线与圆锥曲线.在考查学生基础、能力、素质、潜能的考试目标指导下，每年高考数学对解析几何的考查都占较大的比例.而最值、范围、定点、定值问题是其考查的主要内容，2022年江西高考文科数学试卷第20题就很好地体现了这一点.[关键词]高考圆锥曲线解题探究笔者通过对2022江西高考文科数学试题的研究，发现第20题所要证明的结论对椭圆来说具有一般性，为方便讨论，引原题如下：椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=32，a+b=3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如右图，A和B是椭圆C的长轴顶点，D是短轴顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值.解答：略.笔者关心的是，如果把“e=32，a+b=3”这两个条件省略，即对于一般的椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），（Ⅱ）中的结论还能成立吗？笔者的回答是肯定的，证明如下：设直线lBP：y=k（x-a）（由题意可知k≠0，±ba），易知lAD：y=bax+b，联立lBP和lAD的方程，可求得M（a2k+abak-b，2abkak-b），将lBP的方程代入椭圆方程x2a2+y2b2=1中，可得P（a3k2+ab2a2k2+b2，-2ab2ka2k2+b2）.设N（t，0），易知D（0，b）.由D，P，N三点共线可知：0-bt-0=-2ab2ka2k2+b2-ba3k2+ab2a2k2+b2-0.解之可得N（a3k2-ab2a2k2+2abk+b2，0），从而kmn=a2k2+2abk+b22a2k+2ab，所以2m-k=a2k2+2abk+b2a2k+ab-k=abk+b2a2k+ab=ba（定值）.于是得到：结论1椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），A和B是椭圆C的长轴顶点，D是短轴顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，则2m-k为定值.特别地，当a=2，b=1时，就是2022年江西高考文科数学试卷第20题.这个结论对椭圆来说，具有一般性，那是否同样适用于双曲线呢？带着这个疑问，笔者作了如下探索：设直线lBP：y=k（x-a）（由题意可知k≠0），易知lAD：y=bax+b，联立lBP和lAD的方程，可求得M（a2k+abak-b，2abkak-b），将lBP的方程代入双曲线方程x2a2-y2b2=1中，可得P（a3k2+ab2a2k2-b2，2ab2ka2k2-b2）.设N（t，0），易知D（0，b）.由D，P，N三点共线可知：0-bt-0=2ab2ka2k2-b2-ba3k2+ab2a2k2-b2-0.解之可得N（a3k2+ab2a2k2-2abk-b2，0），从而kmn=-a2k2+2abk+b22ab，而此时2m-k=-a2k2+2abk+b2ab-k=-a2k2+abk+b2ab，显然不再是一个定值.由此可知，椭圆的这个一般性结论不能够推广到双曲线中，至于是否可以推广到抛物线中，请感兴趣的读者自己验证.值得一提的是，虽然对双曲线来说，2m-k不是定值，但易得m-k+a2bk2为定值，证明略.于是得到：结论2双曲线方程C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），A和B是双曲线C的实轴顶点，D是虚轴顶点，P是双曲线C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，则m-k+a2bk2为定值.（责任编辑钟伟芳）