第二章系统(xìtǒng)的数学模型第一节引言系统的数学模型可以从理论分析和试验的方法来获取，两种方法是相辅相成的。理论分析可以大致确定数学模型的阶次、参数(cānshù)与结构，而试验的方法可以最终确定数学模型的形式。二、线性系统下列(xiàliè)微分方程描述的系统为线性系统。1.线性系统的齐次性线性系统最重要(zhòngyào)的特性，就是叠加原理。三.非线性系统(xìtǒng)/当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件；当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线性元件来处理(chǔlǐ)。在实际系统中，有时还人为的引入饱和特性，以便对控制信号进行限幅，保证系统或元件在额定或安全情况下运行。只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态误差增加，有时还会造成系统低速不平滑(pínghuá)性。在工程实践中，为了提高系统的抗干扰能力，有时故意引入或增大死区。间隙(jiànxì)非线性在机械传动中，摩擦是必然(bìrán)存在的物理因素。例如执行机构由静止状态启动，必须克服机构中的静摩擦力矩y1。启动之后，又要克服机构中的动摩擦力矩y2。一般静摩擦力矩大于动摩擦力矩。如图所示。相应的数学表达式为非线性系统重要的特性，是不能应用叠加原理。因此，对包含(bāohán)有非线性系统的问题求解，其过程通常是非常复杂的。为了绕过由非线性系统而造成的数学上的难关，常需引入“等效”线性系统来代替非线性系统。如饱和非线性（图a）和死区非线性（图b）。这种等效线性系统，仅在一定的工作范围内是正确的，而对于那些本质的非线性（图c、图d），则用线性化处理的数学模型来近似的表示非线性系统。在第三节中，将介绍线性化处理的方法。第二节线性微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)式的建立3.消去中间变量(biànliàng)，列出各变量(biànliàng)间的关系式。最后得到只包含输入量和输出量的方程式。解：（1）对图a所示系统(xìtǒng)，由牛顿定律有消除中间(zhōngjiān)变量x有(3)对图c所示系统(xìtǒng)，由牛顿定律有（2）机械旋转系统图2-3所示的转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个偏离平衡位置的角位移(t)。现研究(yánjiū)外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。列出系统原始方程：在平衡位置时，外加(wàijiā)扭矩m(t)应与惯性矩m1(t)阻尼矩m2(t)和弹性阻力矩m3(t)平衡，即所以系统(xìtǒng)的运动方程式为/图2-4所示的系统中，ui(t)为输入电压(diànyā)，uo(t)为输出电压(diànyā)。将方程联立求解，消去中间变量(biànliàng)i1(t)、i2(t)、i3(t)后，即可得到以ui(t)为输入量，以uo(t)为输出量的电路微分方程式，即：第三节非线性系统(xìtǒng)的线性化对于非线性函数的线性化方法有两种。一种是忽略非线性因素。如果非线性因素对系统的影响很小，就可以忽略。如死区、磁滞以及某些干摩擦(mócā)等，一般情况下就可以忽略。另一种方法就是切线法，或称微小偏差法。若BC的斜率(xiélǜ)为k，则输入与输出关系可以表示为:非线性关系如果可用下述解析形式(xíngshì)表达时假设(x-x0)很小，则可以(kěyǐ)忽略高次项，而只保留一次项，则（2-12）可以(kěyǐ)写成如果输出量y为两个(liǎnɡɡè)输入量x1与x2的函数时，即当系统在平衡点附近工作，忽略高次项，于是(yúshì)（2-16）式可以写成:为了书写方便起见，增量y与x均可以用变量y与x代替(dàitì)，但在理解时，应看作在工作点附近小范围内的关系。例2-1图2-6为一液面系统(xìtǒng)。Qr为流入液量，Qc为流出液量,h为液面高度，S为容器截面积，在h变动内为恒值。列出液面波动的运动方程式。显然(xiǎnrán)式（2-23）是一个非线性方程式。将方程式的瞬时值用它的额定值和微小增量(zēnɡliànɡ)之和来表示线性化有如下(rúxià)特点：第四节拉普拉斯变换(biànhuàn)式中S是一个实部大于的复变量。L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。拉氏变换定义式中，其积分的下限(xiàxiàn)为零。但是，若函数f(t)在t=0处有突跳，这就存在积分下限(xiàxiàn)是从正的一边趋向于零，还是从负的一边趋向于零，即积分下限(xiàxiàn)是取0+还是0