实验四种群数量的状态转移——微分方程一、实验目的及意义[1]归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；[2]掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；[3]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；[4]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等）对常微分方程的数值解法有一个初步了解，，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。二、实验内容1．微分方程及方程组的解析求解法；2．微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；3．直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；4．利用图形对解的特征作定性分析；5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据微分方程求解步骤编写M文件3．保存文件并运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果和体会写出实验报告。四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）基础实验1．求微分方程的解析解,并画出它们的图形，y’=y+2x,y(0)=1,0<x<1;y’’+ycos(x)=0,y(0)=1,y’(0)=0;2．用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’=y-2x/y,y(0)=1(0≤x≤1,h=0.1)的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？3．Rossler微分方程组：?x'??y?z??y'?x?ay?z'?b?z(x?c)?当固定参数b=2,c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈(0,0.65))而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制???2y?x??x?1(x??)r13??(x??1)r23,????2x?y??y?1yr13??yr23,??1/82.45,?1?1??,r1?(x??)?y,r2?22(x??1)?y22??x(0)?1.2,x(0)?0,y(0)?0,y(0)??1.04935751应用实验5．盐水的混合问题一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千克。求经过时间t后容器内盐的含量。6．老鼠觅食有一个连续的很多个小老鼠笼子（正方形），它们首尾相连。在其前后两边的中央都开有一个洞，可供老鼠自由进出。并在右边放置鼠粮，左边未放鼠粮。老鼠在笼子里面只能够沿着笼子边沿（正方形的四条边）沿左边或从右边向前通过。沿左边则吃不到鼠粮，只有沿右边才能够吃到鼠粮。在每个鼠笼子里，老鼠随机地选择左右之一向前行进。1)奖励型：如果老鼠沿右边吃到鼠粮后，则下次将毫不犹豫地沿右边，如果沿左边未吃到鼠粮，则下次将以1??的概率向左。2)奖惩兼顾型：如果向右吃到鼠粮后，则下次向右的概率为1??；如果向左未吃到鼠粮，则下次向左的概率为1??。就这两种情况，分别建立并求解老鼠在第n次进入鼠笼子时向右能够吃到鼠粮的概率。并考察其无穷趋势。7.两种生物种群竞争模型两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从Logistic规律，即有?x??1x1(1???1???x2??2x2(1????x1N1x2N2))其中x1(t),x2(t)分别为两种生物种群在时刻t的数量，λ1，λ2分别为其自然增长率，N1，N2是它们各自的最大容量。当两个种群在同一个自然环境下生存时，乙消耗的同一自然资源对甲的增长产生了阻滞作用，设为?1x2N2x1N1甲对乙的阻滞作用设为?2由于生物种群的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。生物种群的相互竞争模型为??x??1x1(1??1???x??x(1??222??x1N1x2N2??1??2x2N2x1))N11）m2(m1)为种群乙