不同型余项泰勒公式的证明与应用TheproofsandapplicationsofTaylorformulawithdifferenttypesofremainders专业:作者:指导老师:湖南理工学院数学学院二○一四年五月岳阳本文介绍了不同型余项的泰勒公式，并给出了各种余项泰型勒公式的证明，重点探讨了不同余项型泰勒公式的应用.关键词：余项；泰勒公式；证明；应用AbstractInthispaper,weresearchdifferenttypesofTaylorformulas，andgivetheproofofvariousTaylorremainderformula,focusontheapplicationsofthedifferenttypesofTaylorremainderformula.Keywords:Remainderterm；Taylorformula；Proof；Application目录TOC\o"1-3"\u摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I关键词．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ABSTRAC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II0引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11泰勒公式简介．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12带四种余项泰勒公式的证明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22.1带佩亚诺型余项泰勒公式的证明.......................................22.2带拉格朗日型余项泰勒公式的证明..................................．．.32.3带积分型余项泰勒公式的证明.........................................42.4带柯西型余项泰勒公式的证明.......................................．．53泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．53.1带佩亚诺型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．..．．．．．53.2带拉格朗日型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.......93.3带积分型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．123.4带柯西型余项泰勒公式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．..．．．．．．．13参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．150引言泰勒公式在数学运算中起着非常重要的作用．利用带有余项的泰勒公式可以简单的解决一些复杂问题，所以对泰勒公式的综合性研究对数学分析有重要意义．泰勒展开有多种类型余项型，而根据处理不同问题的需要可以选择不同的余项的类型.我们所学过的主要有：带佩亚诺型余项、带拉格朗日型余项、带积分型余项，带柯西型余项的泰勒公式．1泰勒公式简介泰勒公式可以用若干个连加式来表示一个函数，这些相加项可以由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的次导数)的导数求得．但对于正整数，如果函数在闭区间上有连续阶可导，还满足阶可导．则可任取是一定点，则对任意下式成立.表示余项，下面举出几个我们常用的带余项的泰勒公式展开：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.2带四种余项泰勒公式的证明下面我们给出几种大家常见的带余项泰勒公式的证明.2.1带佩亚诺型余项泰勒公式的证明定理1若函数在点存在直至阶导数，则有，即.(1)证明设现在只需证.由关系式,可知.并容易知.因为存在，所以在点的某领域内存在n-1阶导函数．于是，当且，允许连续使用洛必达法则次，得到定理所证的（1）式称为函数在点处的泰勒公式，则称为泰勒公式的余项，形如的余项称