中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目：高等代数注：以下R2表示n维实列向量空间，Rnn表示n阶实矩阵的全体，AT表示矩阵A的转置，Tr(A)表示矩阵A的迹。一、（20分）设x是n维欧氏空间V中非零向量，kR,k0，定义变换0Txxk(x,x)x,xV001．验证T是线性变换；2．设x在V的标准正交基e,e,,e下的坐标为,,,，求在该基下的矩012n12n阵；3．证明T为对称变换，即(Tx,y)(x,Ty)，x,yV；24．证明：T为正交变换的充要条件是k。x20二、（16分）设ARnn，记C(A){B:ABBA,BRnn}.1．证明：C(A)是Rnn的子空间；2．当AI时，求C(A)；3．当10000200A000n时，求C(A)的维数和一组基。三、（16分）设b(b,b,,b)T为n维非零列向量，求矩阵12n0bHAb0的特征值和特征向量，其中bH表示列向量b的共轭转置。四、（14分）设ARnn,b,xRn，证明线性方程组ATAxATb必有解。五、（12分）设A,B为n阶实矩阵，证明AB0.BA六、（12分）求证：A为幂零阵（即存在正整数m，使得Am0）的充要条件是：对任一自然数r，有Tr(Ar)0.七、（10分）设A,B是n阶实对称矩阵，A0，证明：A为正定矩阵的充要条件是，对所有正定矩阵B，恒有Tr(AB)0.中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、填空题：（每小题6分，共30分）1、设四阶方阵A(,,,)，B(,,,)，其中,,,,为4123412341234维列向量，若|A|1,|B|2，则|AB|()。2、设六阶方阵A的秩等于4，则A的伴随矩阵A*的秩等于()。13、设三阶方阵A的行列式|A|，A1为A的逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则21|A*(A)1|()。24、设A为n阶可逆矩阵，如果交换A的第i行与第j行得到B，则BA1()。5、设A为n阶方阵，若A3E，秩(A3E)秩(A5E)n，则数()必为A的特征值。二、（本题满分20分）设f(x)是数域P上的一个n次多项式，这里n1，且设f(x)的一阶微商可以整除f(x)。证明f(x)a(xb)n，这里a,bP,a0。三、（本题满分20分）解方程组xxx1123axbxcxd123a2xb2xc2xd2123其中a,b,c为互不相同的常数。四、（本题满分25分）设P是一个数域A是Pnn中的一个矩阵，令F(A){f(A)|f(x)P[x]}.证明：（1）F(A)是Pnn的一个线性子空间；（2）可以找到非负整数m，使E,A,A2,,Am是F(A)的一组基；（3）F(A)的维数等于A的最小多项式的次数。五、（本题满分25分）设R2是实数域R上的2维向量空间，T:R2R2(x,x)(x,x)1221是线性变换。（1）求T在基(1,2),(1,1)下的矩阵；12（2）证明对于每个实数C，线性变化TCE是可逆变换，这里E是R2上的恒等变换；aa（3）设T在R2的某一基下的矩阵为1112aa2122证明乘积aa不等于零。1221六、（本题满分20分）设A,B为nn矩阵。证明：如果AB0，那么秩(A)+秩(B)n。ABT七、（本题满分10分）设A,B,CRnn，若矩阵是正定的，证明BCCBA1BT也正定。中南大学2004年研究生入学考试试题考试科目：高等代数下面的E均为n阶单位矩阵。一、填空。（5分×5=25分）1、当k______时，向量(1,k,5)能由向量(1,3,2)，(2,1,1)线性表12示。2、假设n阶方阵A满足A23A2E0，则A的特征值为______。3、已知n阶方阵A满足A22A3E0，则(A4E)1______。4、设A是n阶方阵，满足AATE（AT是A的转置矩阵），|A|0，则|AE|______。5、设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1,2,,n，则当满足______时，tEA为正定矩阵。二、计