奉献品质教育成就考生梦想—研到考研@德渥群芳教育2022年全国硕士研究生招生考试（数学一）试题参考解答一、选择题（1-10题，每题5分，共计50分）f(x)1.已知f(x)满足lim=1，则（B）x→1lnxA.f(1)=0B.limf(x)=0C.f(1)=1D.limf(x)=1.x→1x→1解答：由极限的四则运算法则可知：f(x)f(x)limf(x)=limlnx=limlnxlim=01=0.x→1x→1lnxx→1x→1lnx故本题选B.yzz2.已知z=xyf()，且f(u)可导，若x+y=y2(lny−lnx)，则（B）xxy11A.f(1)=,f(1)=0B.f(1)=0,f(1)=.221C.f(1)=,f(1)=1D.f(1)=0,f(1)=12zyyyyy2y解答：=yf()+xyf()(−)=yf()−f().xxxx2xxxzyy1yy=xf()+xyf()=xf()+yf().yxxxxxzzyyyy1yy所以x+y=2xyf()，从而2xyf()=y2lnf()=lnxyxxxx2xx111故f(x)=xlnx，从而f(x)=(lnx+1)，所以f(1)=0，f(1)=.222故本题选B.3.设有数列{x}，满足−x，则（D）n2n2A.若limcos(sinx)存在，则limx存在.nnn→n→B.若limsin(cosx)存在，则limx存在.nnn→n→C.若limcos(sinx)存在，则limsinx存在，但limx不一定存在.nnnn→n→n→D.若limsin(cosx)存在，则limcosx存在，但limx不一定存在.nnnn→n→n→共36页奉献品质教育成就考生梦想—研到考研@德渥群芳教育解答：对于选项A，取x=(−1)n，显然不对.n对于选项B，取x=(−1)n，显然不对.n对于选项C，取x=(−1)n，则limsinx不存在，所以该选项错误.nnn→对于选项D，由于limsin(cosx)存在，不妨记为A，由于sinx在[0,]单调，nn→2所以有limcosx=arcsinA，但如果取x=(−1)n也可发现limx不一定存在.nnnn→n→故本题选（D）.xln(1+x)2x4.已知I=1dx，I=1dx，I=1dx，则（A）12302(1+cosx)01+cosx01+sinxA.IIIB.IIIC.IIID.III123213132321xx解答：由于x(0,1)时，ln(1+x)x,，容易知道II.21+x121ln(1+x)111111由于I=dxln(1+x)dxxdx=，I2xdx=.2301+cosx002202所以II，故III，故本题选A.321235.下列四个条件中，3阶矩阵A可相似对角化的一个充分但不必要条件为（A）A.A有三个不相等的特征值B.A有三个线性无关的特征向量C.A有三个两两线性无关的特征向量D.A的属于不同特征值的特征向量相互正交.解答：A选项是A可相似对角化的充分不必要条件，故该选项入选.B选项是A可相似对角化的充分必要条件，故不入选.C选项三个向量不一定线性无关，故充分性不满足，故不入选.D选项不能保证A有三个线性无关的特征向量，故不入选.所以本题选A.6.设A,B均为n阶矩阵，如果方程组Ax=0和Bx=0同解，则（C）共36页奉献品质教育成就考生梦想—研到考研@德渥群芳教育AOA.方程组y=0只有零解.EBEAB.方程组y=0OABABBAC.方程组y=0与y=0同解.OBOAABBBAAD.方程组y=0与y=0同解.OAOBAO解答：对于选项A，由于RR(A)+R(E,B)=R(A)+n2n，EB所以不能确定系数矩阵的秩是否为2n，故解的情况无法判断，该选项错误.EA对于选项B，由于RR(E,A)+R(AB)n+R(A)2n，显然系数矩阵的秩是OAB否小于2n不知道，故无法判断解的情况，该选项错误.对于选项C，结合线性方程组的Gauss消元法和矩阵的初等变换可知：ABAOBABOy=0与y=0同解；y=0与y=0同解.