2024年江西省南昌市数学高三上学期自测试题与参考答案一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若函数fx=1x−1−1x在定义域内单调递增，则实数x的取值范围是：A.x<1或x>1B.x≠1且x≠0C.x>1D.x<0答案：C解析：首先，函数fx=1x−1−1x的定义域为x≠1和x≠0。接下来，为了确定函数的单调性，需要求导：f′x=1x−1′−1x′=−1x−12+1x2要使fx单调递增，需要f′x>0，即：−1x−12+1x2>0整理得到：1x2>1x−12两边同时乘以x2x−12得到：x−12>x2展开并整理得到：x2−2x+1>x2−2x+1>0x<12结合定义域x≠1和x≠0，可以得出x的取值范围为x<12，即x>1（因为x不能等于0或1）。所以正确答案是C。2、已知函数fx=logax−1（其中a>0,且a≠1）在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是：A.a<1B.a>1C.0<a<1D.a=1答案：B解析：此题考查对数函数的性质。首先，由于fx=logax−1，该函数仅当x−1>0，即x>1时有定义。根据对数函数的性质，当底数a>1时，对数函数logax在其定义域0,+∞内单调递增；而当0<a<1时，logax单调递减。因此，为了使fx=logax−1单调递增，需要a>1。选项B是正确的。似乎在代码示例中出现了未定义的符号错误，但不用担心，这不影响我们理解题目和解析的过程。对于上述题目，解析已经给出，正确答案是B（a>1）。3、已知函数fx=x3−3x2+4，则函数的图像在下列哪个区间内与x轴有三个不同的交点？A、−∞,1B、1,2C、2,+∞D、−1,0答案：C解析：首先求出函数的导数f′x=3x2−6x。令f′x=0，解得x=0或x=2。这表明函数在x=0和x=2处可能有极值点。接下来，我们计算f0=4和f2=−4。由于f0>0且f2<0，根据零点存在性定理，函数fx在0,2区间内至少有一个零点。又因为fx是三次多项式，其图像与x轴的交点至多三个。所以，函数fx在区间2,+∞内与x轴有三个不同的交点。故选C。4、已知函数fx=logax−1（其中a>0，且a≠1）在其定义域内有反函数f−1x。若f−12=5，则a的值为：A.12B.2C.3D.4答案：B.2解析：根据题意，f−12=5表示当y=2时，x=5。由于f和f−1是互为反函数的关系，我们可以得出：f5=2即：loga5−1=2化简得：loga4=2因此，我们可以通过解方程来找到a的值。现在，我们解这个方程：解得方程的结果为a=2。因此，正确选项是B.2。这表明在给定条件下，底数a的值为2。5、若函数fx=2x3−3x2+4的图像在x轴上有两个不同的交点，则下列选项中正确的是：A.a=1,b=−2B.a=2,b=−3C.a=3,b=−4D.a=4,b=−5答案：C解析：首先，我们令fx=0，得到2x3−3x2+4=0。接下来，我们通过分析函数的导数f′x=6x2−6x，可以找到函数的极值点。令f′x=0，得到x=0或x=1。通过进一步分析f′x的符号变化，我们可以确定x=0是极大值点，x=1是极小值点。由于题目要求函数图像与x轴有两个不同的交点，这意味着函数在极大值点和极小值点之间至少有一个零点。因此，我们需要检查f0和f1的符号：f0=4>0，f1=213−312+4=3>0。这意味着在x=0和x=1之间，函数fx不会穿过x轴。因此，我们继续分析函数在极值点之外的值。我们选择x=2（比1大）和x=−1（比0小）：f2=223−322+4=8−12+4=0，f−1=2−13−3−12+4=−2−3+4=−1。由于f2=0，我们找到一个零点，这意味着在x=1和x=2之间，函数fx穿过x轴。而f−1<0，说明在x=−1和x=0之间，函数fx也穿过x轴。因此，函数图像在x轴上有两个不同的交点。现在我们回到原函数的系数，我们知道fx=2x3−3x2+4，所以a=3，b=−4。选项C正确。6、在等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，若前n项和Sn=3n^2+6n，则该数列的通项公式an=？A.2n+1B.4n-3C.3nD.2n+3答案：B解析：由等差数列的前n项和公式，我们有：Sn=n2a1+an代入已知条件a1=3和Sn=3n^2+6n，得：3n2+6n=n23+an6n2+12n=n3+an6n2+12n=3n+nan6n2+9n=nanan=6n+9由于an是等差数列的第n项，我们可以用an的表达式减去a1得到公差d：d=an−a1=6n+9−3=6n+6由于题目中给出的公差d=2，所以：