两类非线性矩阵方程的Hermite正定解的中期报告非线性矩阵方程在科学与工程中有广泛的应用。其中，Hermite正定解作为矩阵方程的一种特殊解，是非常重要的。本报告对两种非线性矩阵方程的Hermite正定解的研究进展进行了中期汇报。一、$AXB+CYD=E$型非线性矩阵方程的Hermite正定解该矩阵方程的Hermite正定解的研究，是近年来国内外学者广泛关注的热点问题。目前对于该方程的Hermite正定解，主要是基于Lyapunov方程和矩阵凸组合理论等方法进行研究。研究者们通过将该方程转化为常微分方程，然后应用Poincare-Bendixson定理、Lagrange多项式等方法来刻画其正定解的性质。同时，也有一些学者提出了基于Hermite矩阵分解和半正定规划的求解方法。二、$AX+XB+X^{2}F(X^{2})=C$型非线性矩阵方程的Hermite正定解该矩阵方程的Hermite正定解的研究，近年来也受到了广泛的关注。目前对于该方程的Hermite正定解，主要是基于特征值分析和矩阵不等式理论等方法进行研究。研究者们通过利用矩阵函数的特征值性质，建立起关于该方程正定解存在的充要条件，并利用矩阵不等式理论证明了该条件的几何意义。同时，也提出了一些基于半正定规划和复合松弛方法的求解方法。总体而言，两类非线性矩阵方程Hermite正定解的研究，目前已取得了一些重要的进展，但仍存在一些问题和挑战。例如，对于$AXB+CYD=E$型非线性矩阵方程，其正定解的存在性和唯一性问题仍然值得进一步研究；对于$AX+XB+X^{2}F(X^{2})=C$型非线性矩阵方程，则需要进一步探索其正定解的求解方法。这些问题的解决将对相关领域的研究和实际应用具有重要的意义。