复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0§SKIPIF1<0Cauchy-Riemann方程§1.4解析函数1．定义若复变函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0及其邻域上处处可导，则称SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点解析。注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。例如：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点是否可导？是否解析？解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此可见，仅在SKIPIF1<0，u、v可微且满足C-R条件，即SKIPIF1<0仅于SKIPIF1<0点可导，但在SKIPIF1<0点不解析。在其他点不可导，则它在SKIPIF1<0点及整个复平面上处处不解析。某一点，函数解析SKIPIF1<0可导某一区域SKIPIF1<0，函数解析SKIPIF1<0可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知SKIPIF1<0求SKIPIF1<0看书上例题§2.1复变函数的积分SKIPIF1<0SKIPIF1<0复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。积分路线不同，其结果也不同。§2.2柯西定理的应用§2.3不定积分§2.4柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开SKIPIF1<0（1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D’Alember）引入收敛圆半径：SKIPIF1<0（3.2.3）（2）根值判别法（柯西判别法）引入收敛半径：SKIPIF1<0（3.2.6）§3.3泰勒级数的展开其他展开法可用任何方法展开，只要SKIPIF1<0项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor展开的唯一性）如利用SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0等等！例6将SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点邻域展开（SKIPIF1<0）解：利用SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0例7SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点的邻域展开解：SKIPIF1<0§3.5洛朗（Laurent）级数展开（1）展开中心z0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法较常用例2将函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内展开为Laurent级数解：因为SKIPIF1<0内展开，展开形式应为SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0得到：SKIPIF1<0例3函数SKIPIF1<0在下列圆环域内都是处处解析的，将SKIPIF1<0在这些区域内展开成Laurent级数①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0④SKIPIF1<0解：①SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0结果中不含负幂次项，原因在于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内解析的。②由于SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）③SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0④由于SKIPIF1<0可知展开的级数形式为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0其他例子见书第四章留数定理（残数，Residue）4.2应用留数定理计算实变函数定积分本章没重点，但是考点在这节！第五章傅里叶变换§5.1Fourier级数（一）周期函数的Fourier展开若函数f(x)以2l为周期，即SKIPIF1<0，则可取三角函数族SKIPIF1<0（5.1.2）（其中函数都以2l为周期）作为基本函数族，将f(x)展开为傅里叶级数SKIPIF1<0奇函数和偶函数的Fourier展开§5.2Fourier积分与Fourier变换