一．真题再现1.（2010．成都）28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，若将经过两点的直线沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线．（1）求直线及抛物线的函数表达式；（2）如果P是线段上一点，设、的面积分别为、，且，求点P的坐标；（3）设的半径为l，圆心在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为，圆心在抛物线上运动，则当取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？【分析】(1)一次函数下移3个单位过原点，可以知道b=3，又点A的坐标和对称轴都知道，则点B的坐标可以知道，把已知的点的坐标代入相应的解析式即可。（2）过点B做直线AC的垂线段BD，则BD是两个三角形的公共高，所以面积比就是底边的比，然后过点P做x轴的垂线段，最后根据相似求值。（3）可以根据题意，分圆与x轴相切、与y轴相切和与两轴都相切三种情况来考虑。解：（1）∵沿轴向下平移3个单位后恰好经过原点，∴，。将代入，得。解得。∴直线AC的函数表达式为。∵抛物线的对称轴是直线∴解得∴抛物线的函数表达式为。（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。∵，∴∴。过点P作PE⊥x轴于点E，∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，∴，∴∴，解得∴点P的坐标为（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在与坐标轴相切的情况。设点Q的坐标为。当⊙Q与y轴相切时，有，即。当时，得，∴当时，得，∴当⊙Q与x轴相切时，有，即当时，得，即，解得，∴当时，得，即，解得，∴，。综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为，，，，。（Ⅱ）设点Q的坐标为。当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有。由，得，即，∵△=∴此方程无解。由，得，即，解得∴当⊙Q的半径时，⊙Q与两坐标轴同时相切。【涉及知识点】一次函数的图形及性质、二次函数的图形及性质、相似三角形的有关证明和性质、动点、分情况考虑问题等。【点评】此题具有较高的综合性，考查的知识点非常多，知识之间的衔接自然贯通，难度非常大，作为压轴题，具有很好的区分度，体现了考试的选拔功能。2.（2011.成都）28.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，△ABC的面积，抛物线经过A、B、C三点。(1)求此抛物线的函数表达式；(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC=QUOTEAB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，根据2（m﹣2）=EH，列方程求解；（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，则直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7QUOTE，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．解答：解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由△ABC=QUOTEAB×OC=15，得QUOTE×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将C点坐标代入，得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5），即y=x2﹣4x﹣5；（2）设E点坐标为（m，m2﹣4m﹣5），抛物线对称轴为x=2，由2（m﹣2）=EH，得2（m﹣2）=﹣（m2﹣4m﹣5）或2（m﹣2）=m2﹣4m﹣5，解得m=1±QUOTE或m=3±QUOTE，∵m＞2，∴m=1+QUOTE或m=3+QUOTE，边长EF=2（m﹣2）=2QUOTE﹣2或2QUOTE+2；（3）存在．由（1）可知OB=OC=5，∴△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x﹣5，依题意，直线y=x+9或直线y=x﹣19与BC的距离为7QUOTE，联立QUOTE，QUOTE，解得QUOTE或QUOTE，∴M点的坐标为（﹣2，7），