第页8．4轨迹方程的探求【一线名师精讲】一、基础知识要点求动点的轨迹是解析几何的重点和难点，也是高考命题的热点．常用的基本方法有：1、直接法：直接法是求动点轨迹最基本的方法，一般步骤是：建系设标；列式表标；化简求果；补漏去杂．2、定义法：求一些动点的轨迹时，因为题目条件比较隐蔽，若用直接法，则不易入手，但是，如果我们能够充分利用曲线定义，那么便会寻找到解题的捷径，达到事半功倍的效果．3、代换法：（或相关点代入法，或转移法．）对于求与已知曲线方程有关的一类轨迹时，可设(x,y)为轨迹上任一点，（x0，y0）为已知曲线上任一点，由所求轨迹与已知曲线之关系求出用x,y表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线方程，化简后即可得所求轨迹方程．4、参数法：在求有些动点的轨迹时，可选用适当的参数，可根据已知条件，寻求动点的坐标与参数间的关系，然后消去参数，得轨迹方程．5、交轨法：若动点P是某两条曲线的交点，则可联立这两条曲线的方程，并消去其中的参数，便可得以P点的轨迹．二、基本题型指要题型一：直接法【例1】设动直线垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A、B两点，P是上满足的点，求点P的轨迹．思路：设点P的坐标为(x,y)，用直接法求得点P的轨迹方程．要注意x的范围，通过与椭圆相交求得．解析：设点P的坐标为(x,y)，，则由方程x2+2y2=4得2y2=4-x2．∴.∴A,B两点的坐标分别为(x,),(x,)又∴（0,--y）=1即∴．又直线与椭圆相交于两点，∴-2<x<2．∴点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆的一部分，其方程为（-2<x<2）点评：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性．化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程（包括范围）◆题型：定义法【例2】已知动圆P过定点A（-3，0）并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．解析：如图，设动圆P和定圆B内切于M．则由题意得,|PB|=8-|PA|即|PA|+|PB|=8>|AB|=6.∴由椭圆第一定义知点P的轨迹是以A、B为两焦点，半长轴长为4，半短轴长为的椭圆，其方程为.◆题型三：代换法【例3】设AB是圆x2+y2=1的一条直径，以AB为直角边、B为直角顶点，逆时针方向作等腰直角三角形ABC．当AB变动时，求C点的轨迹．解析1：(相关点代入法)设C(x,y)，B(x0,y0)当x0,y0≠0时，则(x-x0)2+(y-y0)2=4．由x02+y02=1消去x0,y0得轨迹方程x2+y2=5．显然当x0=0或y0=0时方程也适合．故所求轨迹是以原点为圆心，为半径的圆．解析2：（参数法）取∠xOB=θ为参数，则B(cosθ,sinθ)，于是(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=4，，消去θ得x2+y2=5，故所求轨迹是以原点为圆心，为半径的圆．解析3：（几何法）连接CO，因为|OC|2=|OB|2+|BC|2=5为定值，故所求轨迹是以原点为圆心，为半径的圆．点评：求轨迹的方法很多，注意合理选取.◆题型四：参数法参数法求轨迹方程是常用方法之一，常用到的参数有：斜率、点的坐标、长度、夹角等．【例4】如图，已知A、B是椭圆x2+4y2=4上的两点，且AB垂直于长轴．椭圆长轴的顶点是M、N．求A、B中任意一点和M、N中任意一点连结起来的两条直线的交点的轨迹．解析：由题设可知A、B的坐标分别为(2cos,sin),(2cos,-sin)．于是MA、NB的方程分别是(2cos+2)y=sin(x+2)①和(2cos-2)y=-2sin(x-2)②．由①÷②得代入①得消去参数．当sin≠0时，；当sin=0时，点(±2，0)在双曲线上，故所求的轨迹方程是x2-2y2=4，即为双曲线．点评：动点P是动曲线C1和C2的交点时，只要联立C1和C2的方程，消去参数，就得到动点P的轨迹方程．◆题型五：交轨法【例5】求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.思路：由经过二曲线f1(x,y)=0和f2(x,y)=0的交点的曲线系方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0可求得．解析：设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ（x2+y2+6y-28）=0(λ≠-1)，即（1+λ）x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0（*）∵圆心（-，-）在直线x-y-4=0上，∴-+-4=0．∴λ=-7，将λ=-7代入（*）式得所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0【阅卷老师评题】【例6】（2003年全国）已知