2013年全国硕士研究生入学统一考试（模拟试题1）数学三（满分：150分；考试时间：180分钟）一、填空题（每题56分）nn!（1）lim=；n®¥n1xf(xt)dtò1（2）设f(x)连续，且f(1)=1，则lim=；x®1x3-1xdy（3）设y=tf(t2-x2)dt，=；ò0dx（4）设f(x)在[-1,1]上可导，f(x)在x=0处二阶可导，且f¢(0)=0,f¢¢(0)=4，f(x)-f[ln(1+x)]lim=；x®0x3（5）设f(x)=xln(1+x2)，求f(49)(0)；1（6）设x+1-x=(x³0)，则q(x)取值范围是；2x+q(x)arctanx（7）当x>0时，f(x)=的最大值是；ln(1+x)xp（8）lnx=-1-cos2xdx在(0,+¥)内有个根；eò0x2+11（9）曲线y=ex-1的渐近线为；x+1¶u（10）设u=f(z)，且z是由z=y+xj(z)确定的x,y的函数，f(z),j(z)可微，=；¶x（11）求由方程2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0所确定的函数z=z(x,y)的极值差的绝对值是；（12）òmax(1,x2}dx=；1-x7（13）dx=；òx(1+x7)xp（14）设f(x)ÎC[-p,p]，且f(x)=+f(x)sinxdx，f(x)=；1+cos2xò-p二、解答题（94分）f(x)ln(1+)f(x)1．（10分）设limsinx=A，求lim。x®0ax-1x®0x2ì1ïxysin,(x,y)¹(0,0)2．（10分）讨论函数f(x,y)=íx2+y2在点(0,0)处的连续性、可偏导性与可微性。ïî0,(x,y)=(0,0)x3．（10分）设etdt=xeqx，（1）求q；（2）求limq及limq。ò0x®0x®+¥1ln(1+x)4．（12分）计算I=dx。ò01+x25．（10分）求f(x,y)=x3-4x2+2xy-y2在区域D={(x,y)|-1£x£4,-1£y£1}上的最大值与最小值。6．（10分）设f(x)连续可导，且m£f(x)£M，1a1a（1）求lim(f(t+a)-f(t-a))dt；（2）证明：|f(t)dt-f(x)|£M-m。a®0+4a2ò-a2aò-a7．（12分）设为个不同的实数，函数在上有阶导数，并满足a1<a2<L<annf(x)[a1,an]n，则对每个，存在满足等式f(a1)=f(a2)=L=f(an)=0cÎ[a1,an]xÎ(a1,an)(c-a)(c-a)(c-a)f(c)=12Lnf(n)(x)。n!¶z¶z118．（10分）y-x=(y-x)z，若经过变换u=x2+y2,v=+,w=lnz-(x+y),其中w=w(u,v)，¶x¶yxy求原方程化成的方程形式。1x1T9．（10分）设f(x)³0为以T为周期的连续函数，证明：limf(t)dt=f(t)dt。x®+¥xò0Tò0