四面体外接球得球心、半径求法在立体几何中，几何体外接球就是一个常考得知识点，对于学生来说这就是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题.本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题。出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为，则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长即【例题】：在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直，其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。解:因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长所以:四面体外接球得直径为得长即:所以球得表面积为出现两个垂直关系，利用直角三角形结论．【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半．球心为直角三角形斜边中点。【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,，求球得体积。解：且,，，,因为所以知所以所以可得图形为:在中斜边为在中斜边为取斜边得中点,在中在中所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心所以该外接球得体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线。出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解ﻩ【例题】：已知在三棱锥中,,,，求该棱锥得外接球半径.解：由已知建立空间直角坐标系由平面知识得设球心坐标为则,由空间两点间距离公式知解得所以半径为【结论】：空间两点间距离公式:四面体就是正四面体处理球得“内切”“外接”问题与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。作为这种特殊得位置关系在高考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊．解决这类题目时要认真分析图形，明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问题迎刃而解。一、棱锥得内切、外接球问题图1例１、正四面体得外接球与内切球得半径就是多少?分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。解:如图１所示,设点就是内切球得球心,正四面体棱长为.由图形得对称性知，点也就是外接球得球心。设内切球半径为,外接球半径为。正四面体得表面积.正四面体得体积,在中,,即，得,得【点评】由于正四面体本身得对称性可知，内切球与外接球得两个球心就是重合得,为正四面体高得四等分点，即内切球得半径为（为正四面体得高),且外接球得半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间得关系。例2。设棱锥得底面就是正方形,且,，如果得面积为1，试求能够放入这个棱锥得最大球得半径、图2解:平面，由此，面面、记就是得中点,从而、平面,设球就是与平面、平面、平面都相切得球、如图2,得截面图及内切圆不妨设平面,于就是就是得内心、设球得半径为,则,设,、,当且仅当,即时，等号成立、∴当时,满足条件得球最大半径为、练习:一个正四面体内切球得表面积为,求正四面体得棱长。(答案为:）【点评】根据棱锥得对称性确定内切球与各面得切点位置，作出截面图就是解题得关键.图3图4图5二、球与棱柱得组合体问题正方体得内切球:球与正方体得每个面都相切,切点为每个面得中心,显然球心为正方体得中心。设正方体得棱长为,球半径为。如图3，截面图为正方形得内切圆，得;与正方体各棱相切得球:球与正方体得各棱相切，切点为各棱得中点,如图4作截面图,圆为正方形得外接圆,易得。正方体得外接球：正方体得八个顶点都在球面上，如图５,以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得。例3、在球面上有四个点、、、、如果、、两两互相垂直，且，那么这个球得表面积就是______、解:由已知可得、、实际上就就是球内接正方体中交于一点得三条棱,正方体得对角线长就就是球得直径，连结过点得一条对角线，则过球心，对角线练习：一棱长为得框架型正方体,内放一能充气吹胀得气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时得球得体积。（答案为）４。构造直三角形,巧解正棱柱与球得组合问题正棱柱得外接球，其球心定在上下底面中心连线得中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成得直角三角形便可得球半径。例4、已知三棱柱得六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱得５个面都相切，求球与球得体积之比与表面积之比。分析:先画出过球心得截面图,再来探求半径之间得关系.图6解:如图6,由题意得两球心、就是重合得，过正三棱柱得一条侧棱与它们得球心作截面，设正三棱柱底面边长为,则,正三棱柱得高为,由中,得,，练习:正四棱柱得各顶点都在半径为得球面上,求正四棱柱得侧面积得最大值．(答案为:)【点评】“内切”与“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间得相互关系,主要就是指特殊得点、