2020-2021成都中考数学综合题专练∶圆的综合一、圆的综合1．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．（1）求证：∠ACE=∠DCE；（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；S2CDF（3）若AC=4，S3，求CF的长．COE43【答案】（1）证明见解析，（2）60°；（3）3【解析】【分析】（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；S1S2S1（3）易证VCOE，由于VCDF，所以VCDF=，由圆周角定理可知S2S3S3VCAEVCOEVCAE∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．【详解】（1）∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；（2）延长AE交BC于点G．∵∠AGC是△ABG的外角，∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°．∵OE∥BC，∴∠AEO=∠AGC=60°．∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO=60°．S1VCOE．（3）∵O是AC中点，∴S2VCAES2S1QVCDF，∴VCDF=．S3S3VCOEVCAE∵AC是直径，∴∠AEC=∠FDC=90°．CF3343∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴=，∴CF=CA=．CA333【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．2．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求CE的长；（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．【答案】（1）证明见解析（2）8-43（3）4π【解析】【分析】（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；1（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可2得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG»的长度.【详解】（1）如图1，连接AD，OD；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴DE为⊙O的切线；（2）如图2，连接BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴BF∥DE，∵CD=BD，1∴DE=BF，CE=EF，2∵∠A=30°，AB=16，∴BF=8，∴DE=4，∵DE为⊙O的切线，∴ED2=EF•AE，∴42=CE•（16﹣CE），∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；（3）如图3，连接OG，连接AD，∵BG∥DF，∴∠CBG=∠CDF=30°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠OBG=75°﹣30°=45°，∵OG=OB，∴∠OGB=∠OBG=45°，∴∠BOG=90°，908∴BG»的长度==4π．180【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.uuur3．在⊙O中，点C是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，∠ACB=120°，点I是∠ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连结AD,BD．（1）求证：AD=BD．（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由．（3）若⊙O的半径为2，点E，F是»AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，