2013年5月19日上午8：00-10:002013年白鹭洲中学高中数学竞赛（高二数学试卷）考生注意：1.考试时间120分钟，试卷满分120分；2.用黑色或蓝色笔作答，并将答案写在答题卡上，在试卷上答题无效；3.不准使用计算器.填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）2.已知正四棱锥P－ABCD的五个顶点在同一个球面上.若该四棱锥的体积为V，则球的表面积的最小值为_____________．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为_________．4.过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)．当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为_________．5.将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种．6．已知，实数满足，用A表示的最大值，则A的最大值为______________.7．在平面直角坐标系内，将适合x＜y,|x|＜3,|y|＜3,且使关于t的方程eq\f(1,x－y)＝0没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为_______.8.设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，则=.二、解答题（本大题共3小题，第9小题16分，第10、11小题每题20分，共56分，解答要求有必要的过程）9.已知数列的首项,前项和为,且(1)求数列的通项公式；(2)设函数,是函数的导函数,令求数列的通项公式,并研究其单调性.10.点A在直线上，点B在直线上，其中k>0,,且A,B在y轴同侧，求线段AB中点M的轨迹C；曲线C与抛物线相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程.已知定义在上的函数f(x)满足：f(1)＝eq\f(5,2)，且对于任意实数，总有成立.（1）若数列满足，求数列的通项公式；（2）若对于任意非零实数，总有.设有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论.2013年白鹭洲中学高二数学竞赛答题卡班级姓名学号———————————密——————————封——————————线———————一填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）_____________．2._____________．3._____________．4._____________．5._____________．6._____________．7._____________．8._____________．二、解答题（本大题共3小题，第9小题16分，第10、11小题每题20分，共56分，解答要求有必要的过程）9.10.11.白鹭洲中学高二数学竞赛参考答案及评分标准1.2.3.依题意知，的所有可能值为2，4，6设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，，故．4.设P(x1,y1)，Q(x,y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3,y)。又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=.5.222种．6.解：不妨设，则解得，7．令，原方程化为①所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，或点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为8.作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.连接D、D，则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.同理，可求得，.所以＝.9.解:(1)由得,两式相减得,可得（）,又由已知，所以，即是一个首项为5,公比的等比数列,…………….4分(2)………………8分令则所以作差得即……………12分而所以作差得所以是单调递增数列.……………16分11.解:（1）令，，又，