学士学位论文初等矩阵的应用学生姓名：阿依努尔.玉苏甫学号：20060105009系部：数学系专业：信息与计算科学年级：2006年级7班指导教师：阿布都瓦克.玉奴司完成日期：2011年5月1日摘要本文主要是通过建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系和实际例子，进一步体现出矩阵的初等变换与初等矩阵之间的密切关系，并且在这个基础上介绍初等矩阵的六种应用.关键词：矩阵；初等变换；初等矩阵；可逆矩阵目录TOC\o"1-3"\u摘要PAGEREF_Toc146468132\h1引言PAGEREF_Toc146468133\h11.基本概念及基本定理PAGEREF_Toc146468134\h11.2.1互换两行或列PAGEREF_Toc146468135\h21.2.2以数乘某行或列PAGEREF_Toc146468136\h31.2.3以数乘某行(列)加到另一行(列)上去PAGEREF_Toc146468137\h32.主要结果PAGEREF_Toc146468138\h4初等矩阵在求逆阵的应用PAGEREF_Toc146468139\h42.2初等矩阵在求矩阵秩的应用PAGEREF_Toc146468141\h6初等矩阵求出或中的应用PAGEREF_Toc146468142\h72.4初等矩阵在解方程组中的应用PAGEREF_Toc146468143\h92.5初等矩阵在确定向量组的线性关系的应用PAGEREF_Toc146468144\h102.6初等矩阵在矩阵的三角分解()中的应用PAGEREF_Toc146468145\h10总结PAGEREF_Toc146468146\h12参考文献PAGEREF_Toc146468147\h13致谢PAGEREF_Toc146468148\h14引言初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本变换，应用广泛，并且三种初等变换都有一个与之相应的初等矩阵，即互换两行或列，以数乘某行或列，以数乘某行（列）加到另一行（列）上去.利用初等矩阵与矩阵的初等变换之间的关系，本文主要介绍初等矩阵的六种应用；1.初等矩阵在求逆矩阵上的应用；2.初等矩阵在求矩阵秩的应用；3.初等矩阵求出或中的应用；４.初等矩阵在解方程组中的应用；５.初等矩阵在确定向量组的线性关系中的应用；６.初等矩阵在矩阵三角分解（LU）分解中的应用；通过举例使得对初等矩阵的应用的认识更加深刻.1.基本概念及基本定理定义1.1一个矩阵的行（列）初等变换是指对矩阵施行的下列变换1）交换矩阵的某两行（列）；2）用一个非零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个非零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；3）给矩阵的某一行（列）乘以一个数后加到另一行（列）上，即用某一个数乘矩阵某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上.把上述三种初等变换分别叫做矩阵的第一种，第二种和第三种行（列）初等变换.一个很自然的问题是，给定一个矩阵，通过若干次初等变换可把化为一个什么样形状简单的矩阵呢?下述定理给我们一个完美的回答.定理1.1设是矩阵通过行初等变换和第一种列初等变换能把化为如下形式，进而再用若干次第三种列初等变换可化为如下形式，这里.定义1.2由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.显然,初等矩阵都是方阵,每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵,即三种初等变换对应着三种初等方阵.互换两行或列互换中第两行，即，得初等方阵1.2.2以数乘某行或列以数乘E的第行，得初等矩阵第行.1.2.3以数乘某行(列)加到另一行(列)上去以乘的第行加到第行上，[或以乘的第列加到第列上]，.利用矩阵乘法的定义，立即可以得到定理1.2设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.不难看出初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵.事实上，变换的逆变换是其本身，则；变换的逆变换为，则；变换的逆变换为，则.定理1.3设为可逆方阵，则存在几个初等方阵，使.推论矩阵的充分必要条件是存在阶可逆方阵及可逆方阵，使.果当时，由，有，及，即对矩阵施行初等行变换，当把变成时，原来的就变.这种计算格式也可以用来判断某个矩阵是否可逆，当我们将化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零的行数等于时，则可逆，否则不可逆.例2.1设，求.解；.有时要求，把任意一个阶可逆矩阵化为若干个初等矩阵的乘积.下面看一个有关的例子。例2.2把下列可逆阵分解为初等阵的乘积.解对