第十章矩阵位移法第一节矩阵位移法的概念以图示连续梁为例说明矩阵位移法的概念。17.1.2直接刚度法对于连续梁的每一个结点都视为有一个角位移未知数，并规定这些转角均以顺时针方向为正。17.1.3转角位移方程式中：Kij（i=1,2,3;j=1,2,3）称为结点刚度系数。它表示当θj=1时，在结点i处并在θi方向上所需加的结点力矩总和。写成矩阵形式为：简式为：式中：[K]为结构总刚度矩阵{Q}为结点转角列阵{M}为结点力矩列阵17.1.4形成单元刚度矩阵例17-3：写出图示结构的杆端力矩解：据转角方程可得：式中上式写成矩阵形式为17.1.5形成总刚度矩阵例7-4：写出图7-4所示结构的刚度矩阵解：图示结构的刚度矩阵：图17-417.1.6引入支承条件，求结点位移已知上例支承条件=0，连同已获得的[K]，以及各结点荷载值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：据矩阵运算的基本法则，则得：解得：17.1.7求单元杆端力例7-5：求图7-5所示连续梁的杆端力解：由题可知杆1杆2注：以上用连续梁说明直接刚度的方法步骤,完全适用于其它类型结构。其中，[K]的组成是直接刚度法的核心部分。第二节单元刚度矩阵17.2.1结构离散化将杆系结构分离有限个单元杆—离散化。原则：以杆元汇交点、荷载作用点、载面突变点为结点，尽量使相关结点，编码和差值最小。矩阵位移法讨论结点荷载问题，非结点荷载需另外处理。图7-617.2.2单元杆端力和杆端位移表示方法以i为原点，从i到j的方向为轴的正向，并以轴的正向逆时针转900为轴的正向，这样的坐标系称为单元局部坐标系单元杆端力和杆端位移符号的上方加一横“—”，表示局部坐标的意思。如图，结点的杆端位移列向量为：结点的杆端力列向量为：注：这些杆端位移和杆端力的正向均规定与坐标轴的正方向一致为正；其中转角和弯矩以顺时针为正。17.2.3单元杆端力与杆端位移之间的关系式例17-7：计算如图17-8所示结构的各杆的杆端力解：写成矩阵形式为：简式为：17.2.4单元刚度矩阵的特性1）[K]e是对称方阵单元刚度矩阵中的行数等于单元杆端力向量的分量数，列数等于单元杆端位移向量的分量数。因为这两个向量的分量数相等，所以[K]e是一个方阵。又因Kij=Kji，故单元刚度矩阵是对称矩阵。2）[K]e是奇异矩阵矩阵[K]e相应行列式的值为零，故知单元刚度矩阵是奇异矩阵。其逆矩阵不存在。17.2.5单元刚度矩阵中各元素的物理意义当j位移分量为1而其位移分量为零时，所引起的i分量值。第四节结构刚度矩阵由（17—14）式可知：将（17—21）及（17—25）式代入上式得：另[T]T[]e[I]=[K]e则{F}e=[K]e{}e用结分点块式表示为：注：1）为结构坐标的杆端力和杆端位移。2）表示单元的j端三个位移分别产生单位位移时在i端各力分量分别产生的力。3）分别为单元在结构整体坐标中刚度。17.3.1结构总刚度矩阵形成总刚的步骤：1）确定结点数，对结点及单元杆进行编号。2）计算结构坐标系中各单元的单元刚度矩阵。3）将各单元刚度矩阵的各子块，按“对号入座”送入结构总刚度矩阵中。17.3.2结构总刚度方程方程式中：{F}—结构的结点力列向量；—结构的结点位移列向量；[K]—结构的总刚度矩阵或叫结构整体刚度矩阵。17.3.3支承条件的引入结构总刚度方程（D）又叫结构原始刚度方程。其中[K]是奇异矩阵，不能求出确定的结点位移{}。为此求解结构的未知结点位移时，引入结构的实际位移边界条件（即支承条件），修改结构总刚度矩阵。具体步骤如下：1）利用已知的结点力{F1}2）求未知的结点位移{}3）划掉位移为零所对应的行和列。第四节坐标变换矩阵例17-8：见图17-9所示单元，写出单元的杆端力向量。解：由投影关系得图17-9写成矩阵形式为：缩写成式中：[T]为坐标变换矩阵[T]为上交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵。[T]=[T]T式中：[T]-1——与[T]相乘为1的矩阵；[T]T——把[T]中行和列各元素互换后形成的。因此，上式的逆转换式为：同理得：第五节非结点荷载的处理17.7.1结间荷载转化为结点荷载的方法（如图7—10）：1）在B、C结点加附加约束，使B、C两点不能发生任何位移，然后施加结间荷载，如图7-10（b）所示。2）在B、C两点没有附加约束的情况下，施加与上述固端剪力和固端弯