2013年中山大学数学分析考研真题一、（24分）计算下列极限：12n设222求(i)x=n1+()1+()1+(),limx.nnnnnn→∞11(ii)limn2(xn−xn+1),其中x>0.n→∞mmd+1∑id−d+1(iii)limi=d,其中d>0.m→∞md二、（20分）(i)叙述数列{a}收敛的柯西收敛准则并证明之.n111(ii)用柯西收敛准则证明：数列a=+++.趋于无穷大.n2ln23ln3nlnn三、（20分）证明(i)f(x)=sinx在[0,∞)上一致连续.(ii)g(x)=sinx2在[0,∞)上不一致连续.x2四、（16分）设x=−1,x=−1+n(n=1,2,),证明limx存在.1n+1n2n→∞1+a五、（10分）设a>0,n=1,2,,证明limn(n+1−1)≥1.nn→∞an∞六、（10分）设0<x<1,求S(x)=∑xk(1−x)2k的极值.k=1(x+y)dx−(x−y)dy七、（10分）计算∫,其中C是一条从(−1,0)到(1,0)不Cx2+y2经过原点的光滑曲线：y=f(x),−1≤x≤1.八、（12分）计算∫∫yzdxdy+zxdydz+xydzdx,其中S是由x2+y2=1,三个S坐标平面及z=2−x2−y2所围立体图形在第一卦限的外侧.∞sinkx九、（12分）讨论级数∑在[0,2π]上的一致收敛性.k=1k=1π−x(π−1)x,0≤x≤1十、（16分）(i)分别将函数f(x)=和g(x)=在2π−x,1<x≤π∞sinn∞sinn[0，π]按正弦(Fourier)级数展开；(ii)证明∑=∑()2.nnn=1n=12013年中山大学高等代数考研真题1、设E为数域,F⊂E,且E作为F上的线性空间，维数为m.设V为E上的n维线性空间.证明：V作为F上的线性空间维数为mn.2、设f是F上线性空间M(F)到F的线性映射，f(I)=n且对任意n的矩阵A,B∈M(F)有f(AB)=f(BA).证明：f=tr（注：tr为迹函数，ntr(A)=∑na）.i=1ii3、设A,B∈M(F),rank(A)<n,且A=BBB,其中B2=B,i=1,2,,k.证n12kii明：rank(I−A)≤k(n−rank(A)).4、设A∈Fm×n.若对任意n维向量b∈Fn,线性方程组AX=b有解.证明：rank(A)=m.5、设f(x)=x3,g(x)=(1−x)2.(1)求u(x),v(x)使(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x）；(2)设r(x)=x+2,r(x)=1.求一多项式h(x)使下列同余方程式成立：12h(x)≡r(x)(modf(x)),h(x)≡r(x)(modg(x)).126、设σ是F上线性空间V上的线性变换.W是σ的不变子空间.λ，，λ是σ的两两不同的特征根，α,,α分别是属于λ，，λ1m1m1m的根向量.若α=α++α∈W,证明α∈W,i=1,,m.1mi0−23211−1−17、设复矩阵A=.求A的Jordan标准型和最小多项00201−101式.8、设W为下列实线性方程组的解空间.分别求W与W⊥（W的正交补）的一个标准正交基：2x+x−x+x=0,x+x−x=0.12341233−2−49、设实矩阵A=−26−2.求正交矩阵使P−1AP为对角矩阵.−4−2310、设A,B都是n阶实矩阵，其中A正定，B半正定.证明：det(A+B)≥detA.