Josephus约瑟夫问题假设n个竞赛者排成一个环形,依次顺序编号1,2,…,n.从某个指定的第1号开始,沿环计数,每数到第m个人就让其出列,且从下一个人开始重新计数,继续进行下去.这个过程一直进行到所有的人都出列为止.最后出列者为优胜者.无论是用链表实现还是用数组实现来解约瑟夫问题都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较麻烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的.注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要模拟整个过程.因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略.为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数.求胜利者的编号.我们知道第一个人(编号一定是m%n-1)出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):kk+1k+2...n-2,n-1,0,1,2,...k-2并且从k开始报0.现在我们把他们的编号做一下转换:k-->0k+1-->1k+2-->2......k-2-->n-2变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?变回去的公式很简单:x'=(x+k)%n如何知道(n-1)个人报数的问题的解?显然,只要知道(n-2)个人的解就行了.(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况----这显然就是一个倒推问题!递推公式:令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]递推公式f[1]=0;f[i]=(f[i-1]+m)%i;(i>1)有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n].因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是很简单:#include<stdio.h>main(){intn,m,i,s=0;printf("NM=");scanf("%d%d",&n,&m);for(i=2;i<=n;i++)s=(s+m)%i;printf("Thewinneris%d\n",s+1);}这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高.n,等于一百万,算m一千万的情况不是问题了.可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率.PKUJoseph相关问题:1012Joseph一半好人一半坏人.模拟打表.#include<iostream>usingnamespacestd;inta[14];boolfun(intk,intm){//s表示第I(1,2,...,k)次删除数组中的数的下标,注意:随着删除,数组的大小在逐渐减小.ints=0,t=2*k;for(inti=1;i<=k;++i){s=(s-1+m)%t;--t;if(s<k)returnfalse;}returntrue;}intmain(){inti,j;for(i=1;i<=13;++i){j=i+1;while(!fun(i,j))++j;a[i]=j;}intk;while(cin>>k&&k)cout<<a[k]<<endl;return0;}2359Questions标准约瑟夫问题+字符串#include<iostream>usingnamespacestd;chars[30002];intmain(){charch;intlen=0;while((ch=getchar())!=EOF){if(ch!='\n'){++len;s[len]=ch;}}intt=0;for(inti=2;i<=len;++i)t=(t+1999)%i;if(s[t+1]=='')cout<<"No"<<endl;elseif(s[t+1]=='?')cout<<"Yes"<<endl;elsecout<<"Nocomments"<<endl;return0;}InDanger只考虑M为2的情况,将十进制转换为二进制,