整数裂项后延减前伸差数除以N——例谈整数裂项河南省太康县城关镇建南小学(461400)对于较长得复杂算式，单单靠一般得运算顺序与计算方法就是很难求出结果得。如果算式中每一项得排列都就是有规律得，那么我们就要利用这个规律进行巧算与简算。而裂项法就就是一种行之有效得巧算与简算方法。通常得做法就是：把算式中得每一项裂变成两项得差，而且就是每个裂变得后项(或前项)恰好与上个裂变得前项（或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”得目得。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法得运用,并为整数裂项法编制一个易用易记得口诀。例1、计算1×2+２×3+3×4+４×５+…＋98×９9+９９×１００分析:这个算式实际上可以瞧作就是:等差数列1、2、3、4、５……98、99、1０0，先将所有得相邻两项分别相乘,再求所有乘积得与。算式得特点概括为：数列公差为１，因数个数为2。1×2=(１×2×3-0×1×2)÷(1×３)２×３＝(２×3×4-1×2×3)÷(1×3）3×4=(3×4×5-2×3×４)÷(1×3)4×5＝(4×5×6－3×4×5)÷（1×3)……９8×９９=(９8×99×100-9７×98×99）÷(1×3）99×１00=（99×10０×１０1-9８×99×100)÷(1×3)将以上算式得等号左边与右边分别累加,左边即为所求得算式,右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为(99×１０0×１01-0×1×2）÷３。解:１×2+2×3+３×4＋4×５+……+９8×９9+99×10０=（9９×100×101-0×１×2）÷３=33330０例２、计算3×５＋5×7＋7×9+……＋97×９9＋99×10１分析:这个算式实际上也可以瞧作就是:等差数列3、5、7、９……９7、９9、１0１，先将所有得相邻两项分别相乘,再求所有乘积得与。算式得特点概括为：数列公差为２,因数个数为２。3×５＝(3×５×７-1×３×５)÷(2×3)5×7＝(5×７×9-3×5×７)÷(２×３）７×９=(７×９×1１-5×７×9)÷(２×3）……9７×99=(97×99×101－９5×９7×９9）÷（2×3)９9×101=（99×10１×103-97×99×101）÷（2×３）将等号左右两边分别累加,左边即为所求算式,右边括号里面许多项可以相互抵消。解:3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101＝(99×101×103－１×3×5)÷（2×3)=10298８2÷6=171６4７例3、计算1×２×３+２×3×4+3×4×5＋……+９６×9７×9８＋9７×9８×99分析:这个算式实际上可以瞧作就是:等差数列１、2、３、４、5……９8、99、１00，先将所有得相邻三项分别相乘,再求所有乘积得与。算式得特点概括为:数列公差为1,因数个数为3。1×2×3＝（1×2×３×4-0×1×2×３)÷(1×４)2×３×4=(2×3×4×5-1×２×３×４)÷(１×4)3×4×5=（3×4×5×６-2×3×４×5)÷(１×4)……9６×97×98=(96×９7×98×９9-9５×９6×97×98)÷(1×4)９7×98×99=(97×9８×99×１０0－９6×９7×98×99)÷（１×４）右边累加，括号内相互抵消,整个结果为(9７×９8×99×1０0-0×1×2×3)÷(1×4)。解:1×2×３＋2×３×４＋3×4×５+…+９６×９7×98×+97×９8×９9＝(９7×98×９9×100－０×1×2×3)÷（1×4）＝23527350例4、计算１０×１6×22＋16×2２×2８+……＋70×7６×８2＋76×82×88分析：算式得特点为：数列公差为6,因数个数为3。解:10×16×22+16×22×２8＋……+70×76×８2+76×82×８８=(76×８2×88×９4-4×1０×１６×22）÷(6×4)=214７3７6通过以上例题，可以瞧出这类算式得特点就是:从公差一定得数列中依次取出若干个数相乘,再把所有得乘积相加。其巧解方法就是:先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数,用它们得差除以公差与因数个数加1得乘积。将以上叙述可以概括一个口诀就是:等差数列数,依次取几个。所有积之与,裂项来求作。后延减前伸，差数除以Ｎ。Ｎ取什么值,两数相乘积。公差要乘以,因个加上一。需要注意得就是:按照公差向前伸展时,当伸展数小于0时,可以取负数,当然就是积为负数,减负要加正。对于小学生,这时候通常就是把第一项甩出来,按照口诀先算出后面得结果再加上第一项得结果。此外,有些算式可以先通过变形,使之符合要求，再利用裂项求解。例5、计算1×１+2×2+3×3＋……+99×99+100×１０