4.5.2用二分法求方程的近似解【情境探究】问题1.在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,就把物品奖给选手.某次竞猜的物品为价格在1000元之内的一款手机,选手开始报价,选手说“800”,主持人说“高了”;选手说“400”,主持人说“低了”.(1)如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗?提示:接下来应该猜“600”,即区间[400,800]的中点.(2)通过这种方法能猜到具体价格吗?提示:可以,通过不断地缩小价格所在的区间,直至猜到手机的价格.(3)同样,上节课我们已经知道f(x)=lnx+2x-6的零点在区间(2,3)内,那么如何缩小零点所在区间(2,3)呢?提示:取区间(2,3)的中点x0=2.5,验证f(2)·f(2.5)<0是否成立,若成立,则函数f(x)的零点在区间(2,2.5)内,否则在区间(2.5,3)内.问题2.如图所示,f(x)的图象与x轴有一个交点,如何求方程f(x)=0的解?假设在区间[-1,5]上,f(x)的图象是一条连续的曲线,且f(-1)·f(5)<0,如何按照二分法的思想求方程f(x)=0的一个解?提示:取[-1,5]的中点2,因为f(5)<0,f(2)>0,即f(2)·f(5)<0.所以在区间[2,5]内有方程的解.于是再取[2,5]的中点3.5…这样继续下去,如果取到某个区间的中点x0,恰使f(x0)=0,则x0就是所求的一个解;如果区间中的点的函数值总不等于零,那么,不断地重复上述操作,就得到一系列闭区间,方程的一个解在这些区间中,区间长度越来越小,端点逐步逼近方程的解,可以得到一个近似解.【知识生成】1.二分法的概念对于在区间[a,b]上图象连续不断且___________的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在的区间_________,使所得区间的两个端点_____________,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数零点与相应方程解的关系,可用二分法来求方程的_______.2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证___________;(2)求区间(a,b)的中点__;(3)计算f(c);并进一步确定零点所在的区间:①若_______,则c就是函数的零点;②若f(a)f(c)<0[此时零点x0∈______],则令b=c;③若f(c)f(b)<0[此时零点x0∈______],则令a=c.(4)判断是否达到精确度ε:即若_________,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4).关键能力探究(2)下列关于函数f(x),x∈[a,b]的命题中正确的是()A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可以用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解【思维导引】【解析】(1)选D.图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左、右函数值异号的有3个零点,所以可以用二分法求解的个数为3.(2)选A.使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,B不正确;f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点,C不正确;用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,D不正确,只有A正确.【类题通法】1.准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.“二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.【定向训练】1.下列函数中,能用二分法求零点的为()2.用二分法求函数f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是()①f(x)在区间[a,b]上是连续不断的;②f(a)·f(b)<0;③f(a)·f(b)>0;④f(a)·f(b)≥0.A.①②B.①③C.①④D.①②③【解析】选A.由二分法的定义可推断出.【补偿训练】利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:【解析】选C.判断函数f(x)=2x-x2在各个区间两端点的符号,若满足条件f(a)·f(b)<0,则原方程的一个根位于区间(a,b).由于f(0.6)≈1.516-0.36>0,f(1.0)=2.0-1.0>0,故排除A;由于f(1.4)≈2.639-1.96>0,f(1.8)≈3.482-3.24>0,故排除B;由于f(1.8)≈3.482-3.24>0,f(2