第9章数字信号的最佳接收9.1引言数字通信系统的任务是传输数字信息。发端将数字信息变换成适合信道传输的信号，接收端根据收到的信号判决出原数字信息。由于噪声、干扰的存在，接收机在判决时会发生错误，产生误码。不同的接收方法有不同的误码性能(如2ASK相干解调的误码率就不同于包络解调的误码率)。能使误码率最小的接收方式称为最佳接收，相应的接收机称为最佳接收机。“最佳”是个相对概念，不同条件、不同要求下的最佳接收机是不同的。如白噪声信道的最佳接收机在瑞利衰落信道中就不是最佳的。本章讨论高斯白噪声信道中二元数字信号的最佳接收机结构及其性能。从第7、8章的讨论可以看出，一个数字通信系统的接收设备可以视作一个判决装置，它由一个线性滤波器和一个判决电路构成，如图9.1.1所示。线性滤波器对接收信号进行某种处理，输出某个物理量提供给判决电路，以便判决电路对接收信号中所包含的某个发送信号作出尽可能正确的判决，或者说作出错误判决的可能性尽量小，那么为了使判决电路能达到这种要求，线性滤波器应当对接收信号作什么样的处理呢？理论和实践都已证明：在白噪声干扰下，如果线性滤波器的输出端在某一时刻上使信号的瞬时功率与白噪声平均功率之比达到最大，就可以使判决电路出现错误判决的概率最小。这样的线性滤波器称为匹配滤波器。所以，匹配滤波器是最大输出信噪比意义下的最佳线性滤波器。用匹配滤波器构成的接收机是满足最大输出信噪比准则的最佳接收机，也称为匹配滤波器接收机。在白噪声条件下，这样的接收机能得到最小的误码率。本章将围绕数字信号的最佳接收展开讨论，主要内容有最佳接收机结构及其抗噪声性能。图9.1.1简化的接收机结构9.2匹配滤波器9.2.1匹配滤波器的传输特性H(f)匹配滤波器如图9.2.1所示，现在来推导匹配滤波器的传输特性H(f)。图9.2.1匹配滤波器示意图设匹配滤波器的输入信号为x(t)，x(t)是由接收信号s(t)和噪声n(t)两部分构成，即x(t)=s(t)+n(t)其中，n(t)是白噪声，其双边功率谱密度为Pn(f)=no/2，而信号s(t)的频谱函数为S(f)。根据线性叠加原理，匹配滤波器的输出y(t)也由信号so(t)和噪声no(t)两部分构成，即y(t)=so(t)+no(t)设so(t)的频谱为So(f)，根据信号与系统理论得So(f)=S(f)H(f)求So(f)的傅氏反变换，可得到输出信号so(t)为(9-2-1)输出噪声no(t)的功率谱密度为由于匹配滤波器是在某个瞬间t0输出信噪比最大的滤波器，所以首先要找到t0时刻滤波器输出信噪比的表示式。根据式(9-2-1)，t0时刻的输出信号值为则在t0时刻输出信号的瞬时功率为(9-2-2)而输出噪声的平均功率为(9-2-3)那么，根据式(9-2-2)、(9-2-3)得到在时刻t0上匹配滤波器输出信号瞬时功率与噪声平均功率的比值为(9-2-4)由式(9-2-4)可看出，输出信噪比ro与滤波器的传输特性H(f)密切相关。因此，肯定存在一个最佳的H(f)，使ro取得最大值。这个使ro取得最大值的传输特性H(f)，就是匹配滤波器的传输特性。为求出式(9-2-4)的最大值，需要使用许瓦兹不等式，即(9-2-5)只有当A(f)和B*(f)成正比时，即A(f)=kB*(f)时，式(9-2-5)中等号成立，达到最大，为将许瓦兹不等式运用到式(9-2-4)，令可得式中，E为信号的能量，且。根据许瓦兹不等式等号成立的条件可知，瞬时信噪比ro达最大值(9-2-6)的条件是(9-2-7)式(9-2-7)就是所要求的匹配滤波器的传输特性。由式(9-2-7)可知，输出信噪比最大的滤波器的传输特性与信号频谱的复共轭成正比，故称这种滤波器为匹配滤波器。由式(9-2-7)可以定性解释匹配滤波器为什么能提高输出信噪比。首先从幅度特性上来看，匹配滤波器的幅度特性与信号的振幅特性相同，因此信号中频谱幅度大的频率成分，匹配滤波器对其衰减小，而信号中频谱幅度小的频率成分，匹配滤波器对其衰减大，这样信号经匹配滤波器后损失较小。但对白噪声来说，不但带外噪声全部被匹配滤波器抑制，更主要的是带内噪声在信号频谱幅度较小的频段内也受到匹配滤波器较大的抑制。再从匹配滤波器的相位特性上来看，由于匹配滤波器的相位特性与信号相位特性相反，使原来信号中相位不同的各频率成分经匹配滤波器后都变为同相相加。因此，经匹配滤波器后，使输出信号达到最大，而噪声却尽可能多地被抑制掉，使输出信噪比达最大。9.2.2匹配滤波器的冲激响应h(t)根据传输特性H(f)与冲激响应h(t)是一对傅氏变换，由式(9-2-7)可得匹配滤波器的冲激响应h(t)为