第页第十二讲综合题选讲（二）解综合题，除了要有牢固的解基本题的基础之外，还要求解题者有创造性认识，有构造（构思）能力，有探求能力，要擅长把复杂的成绩化归为较简单的成绩.例1任意100个自然数，从中能否可找出若干个数（也能够是一个，也能够是多个），使得找出的这些数之和可以被100整除？阐明理由.分析100太大，先从小一些的数分析.如果是两个自然数，当其中有偶数时，这个偶数可被2整除，这时分结论成立；当其中没有偶数时，这两个奇数之和是偶数，这两个数之和能被2整除，可见对于两个自然数，结论成立.如果有3个自然数，当其中有3的倍数时，这个数就可被3整除，选这个数即可；当其中没有3的倍数时，如果这3个数被3除的余数相等，那么这3个数之和可被3整除，这时分可选出这3个数；如果这3个数被3除后有的余1，有的余2，就取余1和余2的各一个数，这两个数之和可被3整除.因而，对于3个整数的情形，结论成立.类似的分析可知，对于4个整数的情形，结论成立.不过分析的过程要更长些.按这类思绪分析下去，虽然能够依次断定对于5个，6个，7个，8个，…整数时结论成立，但是还不能说“对于100个整数结论一样成立”.由于我们不可能在短工夫内不断验证到100.看来要另外设计证题的方法.虽然没有证出本来的标题，但是从简单情况可猜想原题的结论该当是肯定的.由于本题结论是与若干个数之和有关的，由此可联想构造“若干个数之和”方式的数.再进一步考虑被100除后的余数.设本来的100个数是a1，a2，…，a100.考虑b1，b2，…，b100，其中b1=a1，b2=a1＋a2，b3=a1+a2+a3，b100=a1+a2+a3+…+a100.很明显每个bi（i=1，2，…，100），和它们中的任意两个之差（例如b5-b2=a3+a4+a5），都是若干个本来的数之和.考虑b1，b2，…，b100被100除后各自的余数.如果有一个数，例如b1，它能被100整除，那么成绩就解决了.如果任一个数被100除以后的余数都不是0，那么100个数最多可能余1，余2，…，余99，所以最少有两个数，它们被100除后的余数相反.这时分，它们的差可被100整除，也就是说在a1，a2，…，a100中存在若干个数，它们的和可被100整除.阐明：上面的论证方法利用了余数类，同余，抽屉原理，这些解数学竞赛题中常用的方法.在考虑b1，b2，…，b100时，采用了构造法.该当指出，标题中的“100”不是本质的，改成200，300…，乃至改成任一自然数n，结论一样成立，证法相反.例2某班先生有以下特点：任何四个人中，都有一个人与另外三个人经过电话.证明：全班当中的任意四个人中，可找到一个人，这个人与全班一切人都经过电话.分析这个标题中“数”很少，要论证的结论“任意四个人中可找到一个人，这个人与全班一切的人都经过电话”又比较强，为此，要充分利用“任何四个人中都有一个人与另外三个人经过电话”的已知条件.画个表示图，人用点表示，两个人之间经过电话就用这两点的实连线表示，否则就用虚线表示.如果这些先生之间的任何两个人都有线相连，那么成绩已解决；如果有四个人A、B、C、D有如下图所示的关系：那么D与A、B、C都经过电话，考虑除A、B、C、D外的任何一个人E.D、E之间必然经过电话.否则A、C、D、E四人与已知条件不符.由于E的任意性表明D与一切人经过电话.如果有四个人A、B、C、D，它们间的关系如下图所示，与上图的证法类似，可知D与一切人经过电话.我们已讨论了一切可能的情形，因而综上所证知：任意四人中，总有一个人，这个人与一切人经过电话.阐明：我们采用的证明方法是用图这类直观方式表达关系和逻辑，把人和通电话分别用点、边表示，未通电话用虚线表示.这样便于对照图形分析成绩.这类方法是图论的基本方法.在上述证明中，运用了分情况论证（分情况讨论）的方法.这是推理论证的基本方法之一.例3甲、乙两所学校的先生中，有些先生互相认识.已知甲校的先生中任何一个人也认不全乙校的先生，乙校的任意两名先生都有甲校中的一个公共朋友.问：能否在甲校中找出两个先生A、B，从乙校中找出三个先生C、D、E，使得A认识C、D，不认识E，B认识D、E，不认识C？阐明理由.（认识是彼此的，即甲认识乙时，乙也认识甲）.分析如果选乙校先生中任意两个人为C、D，那么甲校中有认识C、D的人，设它为A.由于A认不全乙校先生，所以在乙校中有先生E，A不认识E.这时分A认识C、D，不认识E.按这个思绪，再考虑选B时有些麻烦.虽然对于乙校的D、E，可知甲校中有先生认识D、E，如果把甲校的这个认识D、E的人选为B.这个B可能认识C，这样就达不到标题要求了.之所以堕入上述困境，缘由在于C、D在乙校中太“任意”了，在乙校中