http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网http://cooco.net.cn永久免费组卷搜题网7-7空间向量的坐标运算一、选择题1．已知▱ABCD，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为()A．(eq\f(7,2)，4，－1)B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)解析：，设＝(x，y，z)，则(7,8，－2)＝(x＋2，y－5，z＋1)，∴x＝5，y＝13，z＝－3，即＝(5,13，－3)．答案：D2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)，则△ABC的重心坐标为()A．(6，eq\f(7,2)，3)B．(4，eq\f(7,3)，2)C．(8，eq\f(14,3)，4)D．(2，eq\f(7,6)，1)解析：△ABC的重心坐标为x＝eq\f(2＋4＋6,3)＝4，y＝eq\f(3＋1＋3,3)＝eq\f(7,3)，z＝eq\f(1＋(－2)＋7,3)＝2.答案：B3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝eq\f(8,9)，则λ等于()A．2B．－2C．－2或eq\f(2,55)D．2或－eq\f(2,55)解析：|a|＝eq\r(λ2＋5)，|b|＝3，a·b＝6－λ，根据已知条件eq\f(6－λ,3\r(λ2＋5))＝eq\f(8,9)，解得λ＝－2，或λ＝eq\f(2,55).答案：C4．已知两空间向量a＝(2，cosθ，sinθ)，b＝(sinθ，2，cosθ)，则a＋b与a－b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴〈a＋b，a－b〉＝90°.答案：D二、填空题5．与A(－1,2,3)、B(0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为________．解析：设到A、B两点距离相等的点为P(x，y，z)，由|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝x2＋y2＋(z－5)2，整理得：2x－4y＋4z－11＝0.答案：2x－4y＋4z－11＝06．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的投影为________．解析：eq\f(1,|b|)b·a＝eq\f(1,\r(3))(1,1,1)·(－1,2,3)＝eq\f(4\r(3),3)，则a在向量b上的投影为eq\f(4\r(3),3).答案：eq\f(4\r(3),3)7．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．解析：|a|＝eq\r(22＋(－1)2＋22)＝3，|b|＝eq\r(22＋22＋12)＝3，a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(4,9)，sin〈a，b〉＝eq\f(\r(65),9)，S平行四边形＝|a||b|sin〈a，b〉＝eq\r(65).答案：eq\r(65)三、解答题8．如右图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq\r(3)，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．解答：(1)如右图，建立直角坐标系A－xyz，则P(0,0,2)，B(eq\r(3)，0,0)，C(eq\r(3)，1,0)∴＝(eq\r(3)，1,0)，＝(eq\r(3)，0，－2)，cos〈〉＝＝eq\f(3\r(7),14)，则直线AC与PB所成角的余弦值为eq\f(3\r(7),14).(2)设N(x,0，z)又E(0，eq\f(1,2)，1)，∴＝(x，－eq\f(1,2)，z－1)．由＝0，得2(z－1)＝0，由＝0，得eq\r(3)x－eq\f(1,2)＝0，解得：x＝eq\f(\r(3),6)，z＝1，因而N点到AB和AP的距离分别为1，eq\f(\r(3),6).9．如右图，点P，E，F在矩形ABCD所在平面外，PC⊥平面ABCD于C，EB⊥平面ABCD于B，FD⊥平面ABCD于D，AB＝4，BC＝2，PC＝6，BE＝DF且四边形AEPF是平行四边形．(1)建立适当坐标系，求点