分段函数分段函数摘要:本文概括了分段函数常见问题的解决方法。关键词:分段函数常见问题解决方法分段函数是指在函数定义域中对于自变量的不同的取值范围有不同的对应法则的函数。变量之间的关系要用两个或两个以上的式子表示。这种函数在日常生活、医学问题等方面中广泛存在。如居民水费,电费,企业税收金,医学中某些药品用量规定等采取分档处理,用数学式子表达就是分段函数。由于“分段”特点,解决分段函数的问题必须采取严谨的特殊方法,既要涉及初等函数公式、定理,又要综合运用高等数学的概念、公式、定理,是高等数学学习的难点。本文概括了分段函数常见问题的解决方法。一、分段函数的确定首先要准确确定分段点并划分自变量的取值区间,然后根据不同的区间正确确定函数关系式。对于分段函数通过+、-或复合的新分段函数,关键是确定新分段点,重新划分区间,还要注意只有在各分段函数的定义域有公共区间才能进行复合。例1:将函数f(x)=2-|x-2|表示成分段函数。(A)f(x)=4-x(x≥0)x(x(C)f(x)=4-x(x≥0)4+x(x分析:∵f(x)=|x-2|=x-2(x≥2)2-x(x例2:设f(x)=1(x>0)-1(x≤0),g(x)=x+1,f[g(x)]=。分析:定义域为R,又∵g(x)=x+1>0,∴f[g(x)]=1。例3:设f(x)=0(x≤0)x(x>0),求F(x)=f(x)-f(x-1)。分析:∵f(x-1)=0(x≤1)(x-1)(x>1),分段点有两个x=0,x=1,∴F(x)=0(x≤0)x(01)。例4:设f(x)=1(0≤x≤1)2(1(A)无意义(B)在[0,2]有意义(C)在[0,4]有意义(D)在[2,4]无意义分析:∵f(x)定义域为[0,2],则2x∈[0,2],得x∈[0,1];又x-2∈[0,2],得x∈[2,4],∴选(A)。二、分段函数定义域分段函数的定义域各个部分自变量取值的并集。例1:设f(x)=(|x|≤1)x-1(1分析:定义域为{x||x|≤1}∪{x|1例2:设f(x)=x-1(x三、分段函数的函数值根据x的所在区间,正确选取相应的表达式,代入求计算即得。例1:设f(x)=1-x(-3≤x分析:∵a≥0,∴f(a)==|a|=-a(-≤a例2:设f(x)=2x(x≤2)x-4x-3(x>2),求f[f(1.5)]。分析:∵1.5又∵3>2,∴f[f(1.5)]=9-12+3=0。例3:设f(x)=6(x0,求。分析:∵a>0,∴f(2-a)=6,f(2+a)=3或2,∴=或。四、分段函数的反函数首先判断函数的定义域与值域是否一一对应(或函数是否有单调性),确定反函数是否存在。若存在只要分别求出各区间段相应函数的反函数并确定相应自变量的取值范围。例1:设f(x)=(-∞分析:作图可知函数的定义域与值域一一对应,反函数存在,分别求出各区间的反函数为f(x)=2x(-∞例2:设f(x)=e(x≥0)x+1(x分析:f(x)是单调递增函数,反函数存在,为f(x)=lnx(x≥1)x-1(x五、分段函数的奇偶性首先判断定义域是否关于原点对称,是的话,分别用-x代替解析式中的x并解出结果。注意自变量的取值范围相应改变,也可以通过作图判定。例1:判断f(x)=x-1(x0)的奇偶性。方法一:作图可知图像关于原点对称,是奇函数。方法二:分析:定义域(-∞,+∞)关于原点对称。f(-x)=-x-1(-x0)=-(x+1)(x>0)0(x=0)-(x-1)(x∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数。例2:判断f(x)=x+2(-2≤x≤-1)1(-1方法一:作图可知图像关于y轴对称,是偶函数。方法二:分析:定义域[-2,2]关于原点对称。f(-x)=-x+2(-2≤-x≤-1)1(-1六、分段点的极限对于非分段点或两侧表达式相同的分段点可用初等函数的求极限方法。而对于两侧表达式不同的分段点的.极限要分别求出左右极限。根据定理f(x)=f(x)=A?圳f(x)=A判断函数在该点的极限是否存在。例1:已知f(x)=x(x≠2)1(x=2),求f(x)。(A)2(B)1(C)4(D)∞分析:∵x=2是分段点但两侧表达式相同,由上述定理可得:∴f(x)=f(x)=x=4。例2:f(x)==1(x>1)-1(x分析:x=1是分段点且两侧表达式不同。要分别求出左右极限。∵f(x)=1,f(x)=-1,∴f(x)不存在。例3:f(x)=3x(x1),求f(x)。分析:∵f(x)=3,f(x)=3,∴f(x)=3。七、分段函数的连续性由于一切初等函数在它的定义域内是连续的,因此分段函数的连续性关键是判断分段点的连续性。例1:判断f(x)=(x>0)e(x≤0)在x=0处是否连续。分析:∵f(x)=1,f(x)=1,又f(0)=1,