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§从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积?设有一圆,首先作内接正四边形,它的面积记为A1;再作内接正八边形,它的面积记为A2;再作内接正十六边形,它的面积记为A3;如此下去,每次边数加倍,一般把内接正8×2n-1边形的面积记为An.这样就得到一系列内接正多边形的面积:A1,A2,A3,×××,An,×××设想n无限增大(记为n,读作n趋于穷大),即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中,内接正多边形无限接近于圆,同时An也无限接近于某一确定的数值,这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数(数列)A1,A2,A3,×××,An,×××当n时的极限.数列的概念:如果按照某一法则,使得对任何一个正整数n有一个确定的数xn,则得到一列有次序的数x1,x2,x3,×××,xn,×××这一列有次序的数就叫做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列的例子:{}:,,,×××,;{2n:2,4,8,×××,2n,×××;{}:,,,×××,,×××;{(-1)n+1:1,-1,1,×××,(-1)n+1,×××;{}:2,,,×××,,×××.它们的一般项依次为,2n,,(-1)n+1,.数列的几何意义:数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,×××,xn,×××.数列与函数:数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列{xn},如果当n无限增大时,数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a,则称常数a是数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a.记为.如果数列没有极限,就说数列是发散的.例如,,;而{2n},{(-1)n+1},是发散的.对无限接近的刻划:xn无限接近于a等价于|xn-a|无限接近于0,极限的精确定义:定义如果数列{xn}与常a有下列关系:对于任意给定的正数不论它多么小,总存在正整数N,使得对于n>N时的一切xn,不等式|xn-a|<都成立,则称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为或xna(n).如果数列没有极限,就说数列是发散的.0,NN+,当nN时,有|xn-a|.数列极限的几何解释:例题:例1.证明.分析:|xn-1|=.对于>0,要使|xn-1|<,只要,即.证明:因为0,N+,当nN时,有|xn-1|=,所以.例2.证明.分析:|xn-0|.对于>0,要使|xn-0|<,只要,即.证明:因为>0,N+,当n>N时,有|xn-0|=,所以.例3.设|q|<1,证明等比数列1,q,q2,×××,qn-1,×××的极限是0.分析:对于任意给定的>0,要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<,只要n>log|q|+1就可以了,故可取N=[log|q|+1]。证明:因为对于任意给定的>0,存在N=[log|q|+1],当nN时,有|qn-1-0|=|q|n-1<,所以.收敛数列的性质:定理1(极限的唯一性)数列{xn}不能收敛于两个不同的极限.证明:假设同时有及,且a<b.按极限的定义,对于>0,存在充分大的正整数N,使当n>N时,同时有|xn-a|<及|xn-b|<,因此同时有及,这是不可能的.所以只能有a=b.数列的有界性:对于数列xn},如果存在着正数M,使得对一切xn都满足不等式|xn|£M,则称数列{xn}是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列{xn}是无界的定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界.证明:设数列{xn}收敛,且收敛于a,根据数列极限的定义,对于=1,存在正整数N,使对于n>N时的一切xn,不等式|xn-a|<=1都成立.于是当n>N时,|xn|=|(xn-a)+a|£|xn-a|+|a|<1+|a|.取M=max{|x1|,|x2|,×××,|xN|,1+|a|},那么数列{xn}中的一切xn都满足不等式|xn|£M.这就证明了数列{xn}是有界的.定理3收敛数列的保号性)如果数列{xn}收敛于a,且a0(或a0),那么存在正整数N,当nN时,有xn0(或xn0).证就a0的情形证明.由数列极限的定义,对,NN+,当nN时,有,从而.推论如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0),且数列{xn}收敛于a,那么a0