§7.1线性变换的定义(dìngyì)一.线性变换的定义(dìngyì)及实例例1Sθ：V2→V2,Sθ(α)=α/(α按逆时针方向旋转θ度得α/)，（即二维平面上的旋转变换）。设α,α的坐标(zuòbiāo)分别是(x,y),(x/,y/),则.可以证明，Sθ是二维平面V2上的一个线性变换。证明：对任意的α,β∈V2,设α+β=γ（如图）Sθ(α+β)=Sθ(γ)=γ/=α/+β/=Sθ(α)+Sθ(β)，Sθ(kβ)=kβ/=kSθ(β).故Sθ是V2上的线性变换.ζkeα//例6设V是数域P上的线性空间，k∈P,定义V上的变换为α→kα(对任意的α∈V)，可以证明该变换为线性变换，称为(chēnɡwéi)由数k确定的数乘变换，并用K表示.当k=1时，即为恒等变换，当k=0时，即为零变换.证明：K显然是V上的变换.现仅证其为线性变换.对任意的α,β∈V,a∈P,K(α+β)=k(α+β)=kα+kβ=K(α)+K(β)；K(aα)=k(aα)=(ka)α=a(kα)=aK(α).故K是V上的线性变换.□二.线性变换的基本(jīběn)性质2.A(0)=A(0α)=0A(α)=0.A(－α)=A((－1)α)=(－1)A(α)=－A(α).据1，易证该等式成立.据题设，存在(cúnzài)不全为0的数k1,···,kr∈P,使得k1α1+···+krαr=0→据3.,2.可知A(k1α1+···+krαr)=k1A(α1)+···+krA(αr)=A(0)=0，即Aα1,···,Aαr线性相关.性质3说明：设β=k1α1+···+krαr→A(β)=A(k1α1+···+krαr)=k1A(α1)+···+krA(αr),即β与A(β)具有相同的线性关系.7.2线性变换的运算(yùnsuàn)L(V)={A│A:V→V的线性变换}一.L(V)上的加法(jiāfǎ)运算证明：首先要证明A+B∈L(V)，即证明A+B是V上的变换；且对向量(xiàngliàng)加法和数乘保持不变./二.L(V)上的乘法(chéngfǎ)运算证明：首先证明A,B∈L(V),即A,B是上的变换，且保持向量(xiàngliàng)加法，数乘运算不变.注:该命题有以下注意(zhùyì)问题三.L(V)上的数乘运算(yùnsuàn)命题3对任意(rènyì)的k,l∈P,A∈L(V)kA∈L(V),且具有如下性质：据L(V)的加法和数乘及其性质(xìngzhì)(命题1,3)可知,L(V)关于线性变换的加法和数乘构成数域P上的线性空间.证明：证A－1∈L(V),即证A－1是V上的变换(biànhuàn)，且保持向量的加法和数乘运算不变.五.线性变换的多项式注:该性质(xìngzhì)的证明略，注意问题如下:例1α(≠0)∈R3,Пα是把向量(xiàngliàng)ζ射到α上的内射影变换，则/例21）线性空间(kōngjiān)P[λ]n中，求微商是线性变换(P274例5),显然Dn=0.以上实例说明，线性变换的一些关系可以(kěyǐ)通过线性变换之间的运算来表示,从而揭示线性变换的一些内在联系及特征性质.7.3线性变换的矩阵(jǔzhèn)一.引入概念(gàiniàn)定理1设ε1,ε2,···,εn是V的基对任意(rènyì)的α1,α2,···,αn∈V,存在唯一的A∈L(V),使得Aεi=αi,i=1,2,···,n.分析证明思路：1)存在性：对任意(rènyì)的α1,α2,···,αn∈V,存在A∈L(V),使得Aεi=αi,i=1,2,···,n(即P282，2.).2)唯一性：若另存在B∈L(V),Bεi=αi,i=1,2,···,n→A=B(即P281，1.).//定理意义(yìyì)分析:/(2)设ε1,ε2,···,εn是V的基，对任意(rènyì)的ξ∈V，A∈L(V),//定理(dìnglǐ)1的意义就在于证明了是满射，从而是双射.这就为引入如下概念奠定了理论基础.Vεm+1,···,εnAA//二的性质(xìngzhì)L(V)≌Pn×n,且保持(bǎochí)加，减，乘，数乘，可逆性.//Aξξ/三A(∈L(V))在不同(bùtónɡ)基下的矩阵/定义3A,B∈Pn×n,称A相似B，记A∽B，如果存在可逆矩阵(jǔzhèn)X∈Pn×n,使得B=X－1AX4）X－1A1X+···+X－1ArX=X－1(A1+···+Ar)X(X－1AX)(X－1AX)···(X－1AX)=X－1(A1A2···Ar)X即A1∽B1···Ar∽Br,则A1+A2+···+Ar∽B1+B2+···+Br,A1A2···Ar∽B1B2···Br.5）X－1(A