第七章线性变换1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；223(x,x,x)(x,xx,x)3）在P中，A1231233；3(x,x,x)(2xx,xx,x)4）?在P中，A12312231；f(x)f(x1)5）在P[x]中，A；xf(x)f(x),x6）在P[]中，A0其中0P是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。8）在Pnn中，AX=BXC其中B,CPnn是两个固定的矩阵.解1)当0时,是;当0时,不是。2)当0时,是;当0时,不是。3)不是.例如当(1,0,0),k2时,kA()(2,0,0),A(k)(4,0,0),A(k)kA()。4)是.因取(x,x,x),(y,y,y),有123123A()=A(xy,xy,xy)112233=(2x2yxy,xyxy,xy)1122223311=(2xx,xx,x)(2yy,yy,y)1223112231=A+A，A(k)A(kx,kx,kx)123=kA()，故A是P3上的线性变换。5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=Au(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=Af(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)kA(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x)g(x)A(f(x))A(g(x))，00A(kf(x))kf(x)kA(f(x))。07)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。8)是，因任取二矩阵X,YPnn，则A(XY)B(XY)CBXCBYCAX+AY，A(kX)=B(kX)k(BXC)kAX，故A是Pnn上的线性变换。2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并检验(AB)2=A2B2是否成立。解任取一向量a=(x,y,z)，则有1)因为Aa=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x),B2a=(-x,y,-z)，B3a=(-z,y,x),B4a=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z),C2a=(-x,-y,z)，C3a=(y,-x,z),C4a=(x,y,z)，所以A4=B4=C4=E。2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以ABBA。3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以A2B2=B2A2。3)因为(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A2B2(a)=(-x,-y,z)，所以(AB)2A2B2。3.在P[x]中，Af(x)f'(x),Bf(x)xf(x)，证明:AB-BA=E。证任取f(x)P[x]，则有(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'(x))=f(x)xf;(x)-xf'(x)=f(x)所以AB-BA=E。4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AkB-BAk=kAk1(k>1)。证采用数学归纳法。当k=2时A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。归纳假设km时结论成立，即AmB-BAm=mAm1。则当km1时，有Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm1A=(m1)Am。即km1时结论成立.故对一切k1结论成立。5.证明：可逆变换