《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．是取自总体的样本，则服从分布；2．设随机向量的联合分布函数为，其边缘分布函数是；3．（√）设，，，则表示；4．若事件与互斥，则与一定相互独立；5．对于任意两个事件，必有；6．设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”；7．（√）为两个事件，则；8．（√）已知随机变量与相互独立，，则；9．（√）设总体，,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。二、填空题1．设是3个随机事件，则事件“和都发生而不发生”用表示为2．设随机变量服从二项分布，则:3．是均匀分布的密度函数；4．若事件相互独立，且，，，则=分布函数；5．设随机变量的概率分布为-4-1024则；6．设随机变量的概率分布为0120.50.30.2则的概率分布为7．若随机变量与相互独立，，则8．设与是未知参数的两个0.99估计，且对任意的满足，则称比有效；9．设是从正态总体抽得的简单随机样本，已知，现检验假设，则当时，服从；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平（），则犯第一类错误的概率是.三、计算题1.已知随机事件的概率，事件的概率，条件概率，试求事件的概率。解：因为，，所以。进而可得。2.设随机变量，且，试求，。解：因为随机变量，所以，由此可得，解得，；3.已知连续型随机变量，试求它的密度函数。解：4.已知一元线性回归直线方程为，且，，试求。解：0，2；5.设总体的概率密度为式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。解：0.8；6.设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。解：7.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。解：（1）由于即2A=1，A=，所以；（2）；四、证明题1.设二维连续型随机向量的联合密度函数为证明:与相互独立。2.1．若事件与相互独立，则与也相互独立。证明：由二维连续型随机向量的联合密度函数为可得两个边缘密度函数分别为：从而可得，所以与相互独立。2．若事件，则。《概率论与数理统计》练习题二一、判断正误，在括号内打√或×.1．若，则一定是空集；2．对于任意两个事件，必有；3．是取自总体的样本，则服从分布；4．设，，，则表示；5．若事件与互斥，则与一定相互独立；6．（√）设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件={甲胜乙负}，则为{甲负乙胜}；7．（√）设表示3个事件，则表示“三个事件都不发生”；8．若为两个事件，则必有；9．设随机变量和的方差存在且不为零，若成立，则和一定不相关；10.（√）设，来自于总体的样本，是的无偏估计量；二、填空题4．对于随机变量，函数称为的0.73；5．设与是两个相互独立的随机变量，分别为其方差，则3/20；6．若随机变量服从正态分布，则其概率密度函数=1350.50.30.27．设是二维随机变量的联合密度函数,与分别是关于与的边缘概率密度,且与相互独立,则有；8．对于随机变量，仅知其，，则由契比雪夫不等式可知无偏；9．设，与相互独立，是的样本，是的样本，则成立；10．是总体的简单随机样本的条件是：（1）相互独立；（2）与总体有相同的概率分布。三、计算题3.已知离散型随机变量服从参数为2的普阿松分布，即…，试求随机变量的数学期望。解：因为随机变量服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：；进而，将代入上述表达式可得所求的密度函数为：；4.设连续型随机变量的密度函数为且，试求常数和。解：由可得；5.若随机变量在区间上服从均匀分布，试求方程有实根的概率。解：由矩估计法知，令得参数的矩估计量。6.已知随机变量，，且与相互独立，设随机变量，试求的密度函数。解：。7.已知随机变量的概率密度为，试求（1）常数；（2）。解：44/45或0.978。得分评卷人十、证明题一个电子线路上电压表的读数服从[,+1]上的均匀分布，其中是该线路上电压的真值，但它是未知的，假设是此电压表上读数的一组样本，试证明：(1)样本均值不是的无偏估计；(2)的矩估计是的无偏估计。设是取自总体的样本，试证明统计量是总体方差的无偏估计量。证明：（1）由，知不是的无偏估计；（2）的矩估计为，由，知它是的无偏估计。