第1节目标规划的数学模型•为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。例1某工厂生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。试求获利最大的生产方案。ⅠⅡ拥有量原材料(kg)2111设备(hr)1210利润(元/件)810解：•这是求获利最大的单目标的规划问题•用x1，x2分别表示Ⅰ，Ⅱ产品的产量•其线性规划模型表述为：目标函数：maxz=x18+2x10⎧2x1+x2≤11⎪满足约束条件：⎨x1+2x2≤10⎪⎩x1,x2≥0用图解法求得最优决策方案为：***x1=4,x2=3,z=62(元)。目标函数：maxz=x18+2x10⎧2x1+x2≤11⎪满足约束条件：⎨x1+2x2≤10⎪⎩x1,x2≥0(4,3)实际上工厂在作决策时要考虑市场等一系列其他条件：(1)根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，故考虑产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ。(2)超过计划供应的原材料时，需用高价采购，会使成本大幅度增加。(3)应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班(4)应尽可能达到并超过计划利润指标56元•这样在考虑产品决策时，便为多目标决策问题•目标规划方法是解这类决策问题的方法之一建立目标规划数学模型有关的概念1.正、负偏差变量d+，d-•设x1，x2为决策变量•此外，引进正、负偏差变量d+，d-¾正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分¾负偏差变量d-表示决策值未达到目标值的部分¾因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒有d+×d-=02.绝对约束和目标约束•绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束•目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束2.绝对约束和目标约束（续）•线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束•也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束•如：例1的目标函数z=8x1+10x2可变换为-+目标约束8x1+10x2+d1-d1=56约束条件2x1+x2≤11可变换为目标约束-+2x1+x2+d2-d2=113.优先因子(优先等级)与权系数•一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或轻重缓急的不同•要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定Pk>>Pk+1,k=1,2,…，K。表示Pk比Pk+1有更大的优先权•即首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的；依此类推3.优先因子(优先等级)与权系数•若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数ωj•这些都由决策者按具体情况而定4.目标规划的目标函数•目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的•当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是minz=f(d+,d-)目标函数基本形式有三种：(1)要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小：minz=f(d++d-)(2)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小：minz=f(d+)(3)要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小：minz=f(d-)对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋予各目标的优先因子来构造目标函数量化方法•建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它都具有一定的主观性和模糊性，可以用专家评定法给以量化。例2•例1的决策者在原材料原材料供应受严格限制的基础上考虑：•首先是产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量•其次是充分利用设备有效台时，不加班•再次是利润额不小于56元•求决策方案解按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1，P2，P3优先因子。这问题的数学模型是：+−+−minz=+Pd11P2()d2++d2Pd33⎧211xx12+≤原材料供应受严格限制⎪−+Ⅱ的产量≥Ⅰ⎪xxd121−+−d1=0⎪−+充分利用设备台时s.t.⎨xxdd1222++−=210不加班⎪−+810xxdd++−=56利