尺规作图一、选择题1.（2019年北京市）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交弧PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A.∠COM=∠CODB.若OM=MN，则∠AOB=20°C.MN∥CDD.MN=3CD【考点】尺规作图【解答】连接ON，由作图可知△COM≌△DON.由△COM≌△DON.，可得∠COM=∠COD，故A正确.若OM=MN，则△OMN为等边三角形，由全等可知∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B正确C.由题意，OC=OD，∴∠OCD=.设OC与OD与MN分别交于R，S，易证△MOR≌△NOS，则OR=OS，∴∠ORS=，∴∠OCD=∠ORS.∴MN∥CD，故C正确.D.由题意，易证MC=CD=DN，∴MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∴MN＜MC+CD+DN=3CD，故选D2.（2019年河南省）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．2B．4C．3D．【考点】尺规作图、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO．在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝2．故选：A．3.（2019年湖北省襄阳市）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是（）A．正方形B．矩形C．梯形D．菱形【考点】尺规作图、菱形的判定【解答】解：由作图可知：AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，故选：D．4.（2019年湖北省宜昌市）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．【考点】尺规作图【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选：A．5.（2019年内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）A．1B．C．2D．【考点】尺规作图-角的平分线【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以△ACG的面积＝×4×1＝2．故选：C．6.（2019年新疆）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（）A．BP是∠ABC的平分线B．AD＝BDC．S△CBD：S△ABD＝1：3D．CD＝BD【考点】尺规作图-角的平分线【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；∵∠CBD＝∠ABC＝30°，∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；∴AD＝2CD，∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．故选：C．二、填空题1.（2019年辽宁省本溪市）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为．【考点】尺规作图【解答】解：结合作图的过程知：BP平分∠ABD，∵∠A＝90°，AP＝3，∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，故答案为：3．三、解答题1.（2019年山东省菏泽市）如图，四边形ABCD是矩形．（1）用尺规作线段AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC＝4，∠BAC＝30°，求BE的长．【考点】尺规作图、垂直平分线【解答】解