Dynkin型路代数上的倾斜模的中期报告Dynkin型路代数被广泛应用于表示论和量子群理论等领域。其中一个重要的课题是研究该代数上的偏微分算子，以及它们的表示和分类问题。本报告主要介绍该代数上的倾斜模的相关研究成果。首先，我们回顾一下Dynkin型路代数的定义和基本性质。Dynkin型路代数是一个基于某个有限类型Dynkin图的李代数，由一组生成元和一组关系式描述。其生成元包括矢量场生成元、Wick乘积生成元和积分算子生成元等。它们之间满足一些基本的交换和对易关系，以及特定的Jacobi恒等式。这些基本性质保证了路代数的良好代数结构和可计算性质。下面，我们考虑路代数上的倾斜模的定义和性质。倾斜模是指一种特殊的表示，它保持代数结构上的某种倾斜对称性。在路代数上，倾斜模可以由一组倾斜对称微分算子生成，并且满足一些特定的代数和微分条件。该条件相当于倾斜模在某些特定点处是特征值为一的。针对Dynkin型路代数上的倾斜模，我们可以研究它们的不变性质、分类问题和表示论等问题。其中一个重要的工具是使用一些特殊的积分算子，称为$q$-Wick乘积算子。这些积分算子是路代数上的$q$-差分算子的推广，它们可以与倾斜模的微分算子相互配合，满足特定的$q$-对易关系。这些$q$-算子在表示论中扮演了重要的角色，可以用来构造不同的倾斜模、计算它们的特征值和不变子空间等。最后，我们介绍一些应用于倾斜模理论的最新成果。一方面，近年来出现了一些新的路代数，它们具有一些新的代数性质和不变量。例如，广义Kac-Moody代数是一类无限维李代数，它的代数结构可以由Dynkin图、权点和级等简单数据确定。另一方面，还出现了一些新的表示论方法和技巧，例如量子群表示论、Hecke代数表示论、模拟群表示论等。这些方法为倾斜模理论的发展提供了新的方向和挑战。