数学试卷一卷选择题（每题5分，每题只有一个正确答案）1.设集合A{2，3，7}，B={1，2，3，5，8},则=（）A.{1，3，5，7}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{1，2，3，5，7，8}2.=（）A.B.C.D.3.双曲线的焦距是（）A.B.3C.2D.64．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.85.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬，则晷针与点A处的水平面所成角为（）B.C.D.6.已知与均为单位向量，若，则与的夹角为（）A.B.C.D.7．有4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法为（）A.6种B.12种C.36种D.72种8.设定义在上的奇函数满足（），则（）A.B.C.D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期在10月份D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳10.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）A.在上的最小值为B.在上的最大值1C.在上的最大值为D.在上的最小值为11．若，则（）A．ln(a−b)>0B．C．a3−b3>0D．│a│>│b│12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.下列正确的为（）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增小D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则二卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域是_________.14.已知是等差数列，，则的前n项和为15.已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离是________16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体的棱长为________四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）在①ac=,②csinA3,③c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在,求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A,B,C的对边分别为，且,?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12分）已知公比大于1的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）求（12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．20.（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次空气质量等级[0，200]（200，400]（400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若某