1三角函数的定义证明.已知锐角△ABC中，AB=c，AC=b,BC=a，利用三角函数的定义证明：c=acosB+bcosA解：作CD⊥AB于点D在Rt△BCD中，由cosB=BD/BC，得BD=acosB,在Rt△ACD中，由cosA=AD/AC，得AD=bcosA，所以c=AB=BD+AD=acosB+bcosA逐步提示：1、根据待证明的条件中存在三角函数，而题目本身图形为锐角三角形，所以要在原图形中通过添加辅助线来构造直角三角形。2、根据求【c的表达式，既是求AB的三角函数表达式】，因此添加辅助线时考虑【将AB线段变为直角三角形的边】，可以作【CD⊥AB于点D，】接下来考虑如何在在直角三角形中利用直角三角形三角函数来求解边角关系。3、接下来分别在Rt△ACD和Rt△BCD中利用三角函数来表示AD的长度向待证靠近2点P为△ABC内任意一点，求证点P到△ABC距离和为定值点P为△ABC外时,上述结论是否成立,若成立，请证明。若不成立h1,h2,h3与上述定值间有何关系【设点p到AB,BC,CA三边距离为h1,h2,h3】证明：连接ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ，过Ｃ作ＡＢ上的高ＡＤ，交ＡＢ于Ｇ。过Ｐ作ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的重线交ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ于Ｄ、Ｅ、Ｆ三角形ＡＢＣ面积＝ＡＢ＊ＣＧ／２三角形ＡＢＣ面积＝三角形ＡＢＰ＋ＢＣＰ＋ＣＡＰ面积＝AB*PD/2+BC*PE/2+CA*PF/2=AB(PD+PE+PF)/2故：AB*CG/2=AB*(PD+PE+PF)/2CG=PD+PE+PF即：点P到△ABC距离和为三角形的高，是定值。（２）若Ｐ在三角形外，不妨设h1>h3,h2>h3，则有：h1+h2-h3=三角形边上的高3棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值，则这个定值等于多少？简证如下：设Ｍ为HYPERLINK"http://wenwen.soso.com/z/Search.e?sp=S%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjlink"\t"_blank"正四面体Ｐ-ＡＢＣ内任一点，Ｍ到面ＡＢＣ，面ＰＡＢ，面ＰＡＣ，面ＰＢＣ的距离分别为ｈ1，ｈ2，ｈ3，ｈ4．由于四个面面积相等，则ＶＰ-ＡＢＣ＝ＶＭ-ＡＢＣ＋ＶＭ-ＰＡＢ＋ＶＭ-ＰＡＣ＋ＶＭ-ＰＢＣ＝（1/3）·Ｓ△ＡＢＣ·（ｈ1＋ｈ2＋ｈ3＋ｈ4）．而Ｓ△ＡＢＣ＝(√3/4)a^2，ＶＰ-ＡＢＣ＝(√2/12)a^3，故ｈ1＋ｈ2＋ｈ3＋ｈ4＝√3/3a（定值）．4正弦定理的证明过程步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的HYPERLINK"http://wenwen.soso.com/z/Search.e?sp=S%E5%9C%86%E5%91%A8%E8%A7%92&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjlink"\t"_blank"圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。5余玄定理证明、平面向量证法：∵如图，有a+b=c(HYPERLINK"http://wenwen.soso.com/z/Search.e?sp=S%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E5%AE%9A%E5%88%99&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjlink"\t"_blank"平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)（以上粗体字符表示向量）又∵Cos(π-θ)=-CosC∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了HYPERLINK"http://wenwen.soso.com/z/Search.e?sp=S%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F&ch=w.search.yjjlink&cid=w.search.yjjl