图的（d，1）全标号问题的中期报告一、问题描述图的（d，1）全标号问题是指对于一张无向图G=(V,E)，给定一个点标号函数f，满足对于每个点v∈V，满足f(v)∈{0,1,...,d-1}，并且存在一个边标号函数g，满足对于每条边(u,v)∈E，满足g(u,v)=f(u)-f(v)(modd)=1。问题要求对于给定的图，找到一个满足以上条件的点标号函数f。二、算法设计1.算法思路首先我们需要知道一个结论：如果图G中存在欧拉回路，那么该图一定有一种（d，1）全标号。因为欧拉回路的存在性意味着图G有欧拉图的性质，即每个点度数都是偶数。而对于一个（d，1）全标号，每个点的度数均为d，因此只要满足了每个点的度数为偶数，其实就等价于存在一种（d，1）全标号。针对上述结论，我们可以得出一种算法：Step1：找到图G的欧拉回路，并将其记录下来。Step2：初始化点标号函数f为全0。Step3：对于欧拉回路上的每条边(u,v)，令f(v)=f(u)+1，即沿回路依次给每个点加1，直到回路结束。Step4：对于回路上的以上节点，其余节点的点标号可以根据边标号函数反推得到。此时算法结束，若有解，则得到一种（d，1）全标号。2.算法分析首先考虑算法的正确性。Step1：由于欧拉回路存在性意味着每个点度数为偶数，因此可以推出该图存在（d，1）全标号。Step2：初始化点标号函数f为全0，满足每个点度数为偶数的要求。Step3：沿欧拉回路依次给每个点加1，可以保证对于边(u,v)上的节点v来说，g(u,v)=1，因为f(v)-f(u)=1(modd)。Step4：对于回路上的以上节点，由于我们从0开始增加标号，因此可以根据g(u,v)反推得到其余节点的标号，最终保证每个点度数均为d，即存在一种（d，1）全标号。算法的时间复杂度主要在于欧拉回路的查找，采用Fleury算法，可以达到O(|E|^2)。同时，如果存在多个欧拉回路，则需要进行选择，如果选择错误就会导致该图无解，因此算法的正确性和选择欧拉回路的准确性有着密切的关系。三、实验结果目前已经知道该问题是NP问题，直接暴力枚举不可取，因此实验并没有对算法进行大规模的测试，只是选择了一些较小的实例进行测试。下图为一个简单的实例，其（d，1）全标号解为f={0,1,0}：通过实验结果可以看出，算法可以较为快速地求解该问题，时间复杂度相对较小。四、结论图的（d，1）全标号问题是一个NP问题，暴力枚举不可取，但是可以通过欧拉回路的求解，将问题转化为每个点度数为偶数的问题，进而构造出一种合法的（d，1）全标号。算法的优点是实现较为简单，时间复杂度相对较小，但是欧拉回路的查找和选择需要在较短时间内完成，因此数据集的选择和算法优化也十分重要。同时，在各种特殊条件下，如图的连通性和d的取值范围等，该算法的可行性和精度也有所不同。