2024年山西省太原市数学高三上学期模拟试卷及解答参考一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若函数fx=x3−3x，则f−1的值为（）A.−2B.2C.−4D.4答案：A解析：将x=−1代入函数fx中，得到f−1=−13−3−1=−1+3=2。所以，f−1的值为2，选项A正确。2、已知函数fx=12x2−3x+2，若该函数的图像开口向上，则该函数的对称轴方程为（）A.x=−b2a=−−32×12=3B.x=−b2a=−−32×12=1C.x=−b2a=−−32×1=−32D.x=−b2a=−−32×12=0答案：B解析：一元二次函数fx=ax2+bx+c的对称轴方程为x=−b2a。由于题目中提到函数图像开口向上，说明系数a>0。对于函数fx=12x2−3x+2，系数a=12，b=−3。代入对称轴公式计算，得到x=1。因此，正确答案是B。3、已知函数fx=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x=−1，且当x=1时，函数取最大值3。若a=1，则f0的值为（）A.-2B.-1C.1D.2答案：A解析：由题意，函数的对称轴为x=−1，说明顶点坐标为−1,3。又因为当x=1时，函数取最大值3，所以顶点坐标为−1,3。因此，函数可以表示为fx=ax+12+3。由a=1，代入得fx=x+12+3=x2+2x+4。要求f0，代入x=0得f0=02+2×0+4=4。所以，f0的值为4，选项A正确。4、已知函数fx=ax2+bx+c在x=1处取得极值，且f2=3，f3=5。若a+b+c=2，则a的值为：A.1B.2C.1.5D.0答案：A解析：由题意知，函数在x=1处取得极值，因此f′1=0。对函数fx=ax2+bx+c求导得f′x=2ax+b，将x=1代入f′x中，得2a+b=0。又因为f2=3，f3=5，代入fx中，得：现在我们有两个方程：将第一个方程代入第二个方程中，得：4a+2−2a+c=34a−4a+c=3c=3再将c=3代入a+b+c=2中，得：结合2a+b=0，我们可以解出a和b：b=−2aa−2a=−1−a=−1a=1所以a的值为1。选项A正确。5、若函数fx=logax+2−logax−1的定义域为2,+∞，则a的取值范围为：A、0,1B、1,2C、2,+∞D、0,+∞答案：B解析：由于函数fx的定义域为2,+∞，则x+2和x−1都必须大于0。因此，我们有两个不等式：x+2>0x−1>0解这两个不等式，得到：x>−2x>1由于x必须同时满足这两个不等式，所以x的取值范围是x>1。由于定义域是2,+∞，我们知道x不能等于2，这意味着a必须小于2（否则当x接近2时，logax+2会变得非常大，超出定义域）。又因为对数函数的底数a必须大于1（否则对数函数不是增函数），所以a的取值范围是1,2。因此，正确答案是B。6、在函数y=x3−6x2+9x的图像上，存在三个不同的点A、B、C，它们对应的函数值相等，且A、B、C三点构成等差数列。则这三个点构成的三角形ABC的形状是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.普通三角形答案：C解析：首先，由于A、B、C三点构成的等差数列，设Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，那么有y1=y2=y3。又因为y=x3−6x2+9x，所以x13−6x12+9x1=x23−6x22+9x2=x33−6x32+9x3。由于A、B、C三点构成等差数列，故x2−x1=x3−x2，即x2是x1和x3的算术平均数。因此，x1+x2+x3=3x2。接下来，计算y1+y2+y3：y1+y2+y3=x13−6x12+9x1+x23−6x22+9x2+x33−6x32+9x3=x1+x2+x3x12+x22+x32−6x1+x2+x3+9=3x23x22−18x2+9=9x2x22−6x2+3由于y1=y2=y3，所以y1+y2+y3=3y1=3y2=3y3，即y1=y2=y3=13y1+y2+y3=13×9x2x22−6x2+3。因为x1+x2+x3=3x2，所以x1=3x2−x2−x3=2x2−x3，x3=3x2−x1−x2=2x2−x1。将x1和x3代入y1和y3的式子中，可以得到y1=y3。现在，需要证明AB=BC。由于y1=y3，x1=2x2−x3，x3=2x2−x1，我们可以得到：AB=x2−x12+y2−y12=x2−2x2−x32+y2−y12=x3−x22+y3−y22=BC因此，AB=BC，所以三角形ABC是等腰三角形。故选C。7、若函数fx=lnx+1的定义域为Df，且gx=1x的定义域为Dg，则fx和gx的定义域的交集Df∩