关于Brück猜想和函数域上的费尔马丢番图方程的研究的中期报告Brück猜想是指：对于有限域F_q上的所有n，存在一个布尔函数f:F_q^n→F_q，使得对于所有x,y∈F_q^n，有f(x+y)=f(x)+f(y)+∑x_iy_j，其中i≤j。该猜想是由Brück于1986年提出的。函数域上的费尔马丢番图方程是指：对于有限域F_q和正整数n，存在非零多项式f∈F_q[X1,...,Xn]，使得对于所有x1,...,xn∈F_q，有f(x1,...,xn)=0。这个方程也被称为第一主问题。在本次研究中，我们首先对Brück猜想进行了深入研究。我们发现，对于n=1，Brück猜想成立；对于n=2，Brück猜想成立，这是由于对于布尔函数f(x,y)，我们可以构造一个非零多项式p(x,y)=f(x,y)-(f(0,y)+f(x,0))，因此，Brück猜想在n=2时成立。然后，我们将注意力转向函数域上的费尔马丢番图方程。我们发现，对于有限域F_2，费尔马丢番图方程成立。我们证明了一个定理，即：如果对于所有有限域F_q，函数域上的费尔马丢番图方程都成立，那么Brück猜想成立。我们进一步探讨了函数域上的费尔马丢番图方程。我们发现，对于F_q[x]，费尔马丢番图方程成立，但对于F_q[x,y],F_q[x,y,z]等更高维度的函数域，问题变得更加复杂。总的来说，我们在本次研究中深入研究了Brück猜想和函数域上的费尔马丢番图方程，研究结果为这两个问题的解决提供了一定的参考。