设P表示无理数集R=P∪Q,|Q|=0,由定理4.10知，定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一无限集,则|A∪B|=|B|。|R|=|P∪Q|=|P|,P的基数是。定理：两两不相交的可列个基数为c的集合的并集，它的基数也是c。设E1,E2,…,En,…是两两不相交的基数为c的集合.S=∪Ek构造S到[0,1)之间的双射,也要寻找依托.利用Ei与[c,d)存在双射来实现在无限集中,有基数为0,c,还有其他基数吗?定理:设F是[0,1]上一切实函数集,则F的基数不是0,也不是c.证明:(1)F的基数不是0(2)F的基数不是c.定义:[0,1]上一切实函数集的基数为f,也记为2.现在有0,1,2,能否类似于数进行比较?4.4基数的比较推论:若A是无限集,则|N|≦|A|。可列集是无限集中基数最小的[0,1]是无限集，且|[0,1]|=c0,所以c>0定理4.13(蔡梅罗(Zermelo)定理):设A和B是任意两个集合,那么|A|<|B|,|B|<|A|,|A|=|B|三者中恰有一个成立。对于基数集，对于基数集上任一元素|A|，因为AA,则|A|≦|A|，自反。由定理4.12(2)(若|A|≦|B|,|B|≦|C|,则|A|≦|C|)知传递，是否反对称呢？定理4.14(伯恩斯坦(F.Bernstein)定理):设A和B是两个集合,若|A|≦|B|,又|B|≦|A|,则|A|=|B|。由此定理知,基数集上的≦关系是偏序关系,又由定理4.13知,任意两个集合的基数都是可比较的,因此还是全序关系.利用存在A到B的内射和B到A的内射来构造A与B之间的双射证明基数相同的方法有：构造双射；构造内射f:A→B,得到|A|≦|B|,再作内射g:B→A,得到|B|≦|A|,从而得到|A|=|B|。例:利用伯恩斯坦定理证明|(0,1)|=|[0,1]|。例:证明实数序列所组成集合E∞的基数为c。定理4.15：设A是有限集,则|A|<0<c<f定理4.16(康托尔定理):对于任何集合A,必有|A|<|P(A)|。证明：康托尔定理告诉我们:任意给定一个集合A,总存在基数比|A|更大的集合,也就是不存在最大基数的集合。构造可列个无限基数的集合:N,P(N),P(P(N)),…且|N|<|P(N)|<|P(P(N))},…左方最开始的不等式表示0<|P(N)},以后每一个都大于它前面的一个,|P(N)|是什么呢?当A是有限集时,|A|=n,则|P(A)|=2n,即|P(A)|=2|A|。当A是无限集时,也记|P(A)|为2|A|。A是可列集,则有|P(A)|=20,|P(N)|=20c与20之间有何关系定理4.17：|P(N)|=c,即20=c。0：所有整数(或分数)的数目；1=|P(N)|：线段上所有几何点(实数)的个数；2=|P(P(N))|：所有几何曲线的个数。0<c康托尔早在一百年前就提出了一个猜想:在0与c之间没有其它的基数,这就是著名的连续统假设。1900年著名数学家希尔伯脱(Hilbet.D)在巴黎数学大会上列举了23个未解决的数学问题,向数学家们进行挑战,其中第一个就是“康托尔的连续统基数问题”。(1)康托尔的连续统基数问题。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。(2)算术公理系统的无矛盾性。欧氏几何的无矛盾性归结为算术公理的无矛盾性.根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。(3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等.德思(M.Dehn)1900年解决(4)两点间以直线为距离最短线问题。此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题解决。(5)拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。(6)对数学起重要作用的物理学的公理化。(7)某些数的无理性与超越性(8)素数分布问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。(9)一般