Hesse流形的截面曲率及共形变换的中期报告Hesse流形是指一类Kähler流形，其联络是通过一组特殊矢量场定义的，这些矢量场成为Hesse场。这些场具有一些特殊性质，例如它们的李代数是一步nilpotent的。对于Hesse流形，截面曲率的计算已经有一定的进展。成熟的方法之一是通过Lie导数计算，这是基于Hesse矢量场的定义的。具体而言，给定一个切向量场$X$，我们可以通过Hesse场的乘积将其升级为另一个矢量场$HX$。这样，我们就可以计算截面曲率，它与$HX$相关。这种方法已经成功地应用于许多经典Hesse流形的例子中，例如在（1）中讨论的特德纳Hesse流形，以及更一般的标架Hesse流形（2）。另一方面，共形变换的研究是Hesse流形研究的另一个重要方面。共形变换定义为保持度量不变的变换，它在物理、几何和代数几何中都有着广泛应用（3）。在Hesse流形的情境中，共形变换可以看作是由一组矢量场定义的diffeomorphism，在此定义中要保持度量不变。近年来，一些研究者（4，5）在研究共形变换时给出了一些初步的结果，例如在特德纳Hesse流形的情境中研究了共形变换的不变量。总之，Hesse流形的研究是一个活跃且多样化的领域。尽管该领域的一些方面已经得到了深入研究，但还有许多开放问题，例如Hesse流形的分类和共形变换的结构。这些问题值得我们进一步探索和研究。参考文献：1.deVito,E.(2008).Hessianmanifolds:abriefoverview.MathematicsandItsApplications,459,13-47.2.Kogan,I.A.,&Zuevsky,A.V.(2011).OntheHessianstructuresontheflagmanifolds.JournalofGeometryandPhysics,61(12),2482-2499.3.Gray,A.(1997).ModerndifferentialgeometryofcurvesandsurfaceswithMathematica.ChapmanandHall/CRC.4.Tachibana,S.(2017).ConformalautomorphismandtheKähler–Einsteinequation.MathematischeZeitschrift,285(3-4),791-807.5.Zuevsky,A.(2019).ConformalautomorphismsoftheHessemanifoldassociatedwithLiealgebras.JournalofMathematicalPhysics,60(1),013510.